순간 (수학) - Moment (mathematics)

에서는 수학 상기 모멘트 (A)의 함수는 함수의 형상에 관한 정량적 측정이다 그래프 . 이 개념은 역학통계 모두에서 사용됩니다 . 함수가 질량을 나타내는 경우 0 번째 모멘트 는 전체 질량 이고, 첫 번째 모멘트를 전체 질량으로 나눈 값 은 질량 중심이고 두 번째 모멘트는 회전 관성 입니다. 함수가 확률 분포 인 경우 0 번째 모멘트는 총 확률 (즉 1 )이고, 첫 번째 모멘트는 기대 값 , 두 번째 모멘트는중심 모멘트분산 , 세 번째 표준화 모멘트왜도 , 네 번째 표준화 모멘트는 첨도 입니다. 수학적 개념은 물리학 순간 개념과 밀접한 관련이 있습니다.

제한된 구간 에서 질량 또는 확률 분포의 경우 모든 모멘트 (모든 차수, 0 부터 ∞까지 ) 의 수집이 분포를 고유하게 결정합니다 ( Hausdorff 모멘트 문제 ). 제한되지 않은 간격에서는 마찬가지입니다 ( 햄버거 모멘트 문제 ).

순간의 중요성

N 실제 값 함수의 연속 번째 모멘트 F ( X 값에 대한 실제 변수) C는 이고

실제 값에 대한 모멘트 보다 더 일반적인 방식으로 랜덤 변수대한 모멘트를 정의 할 수 있습니다 . 메트릭 공간의 모멘트를 참조하십시오 . 추가 설명없이 함수의 순간은 일반적으로 c = 0 인 위의 식을 나타냅니다 .

두 번째 이상 모멘트 의 경우 분포 모양에 대한보다 명확한 정보를 제공하기 때문에 일반적으로 0에 대한 모멘트 대신 중심 모멘트 (평균에 대한 모멘트, c 가 평균)가 사용됩니다.

다른 순간도 정의 할 수 있습니다. 예를 들어, 0에 대한 n 번째 역 모멘트는 다음과 같습니다.상기 N 제로 약 번째 대수는 순간

N 확률 밀도 함수의 제로 약 번째 모멘트 F ( X는 )이 인 기대 값X N 과 호출 원 모멘트 또는 조질 순간 . [1] 평균 μ 에 대한 모멘트를 중심 모멘트 라고합니다 . 이것들은 번역 과는 독립적으로 함수의 모양을 설명합니다 .

경우 f는 A는 확률 밀도 함수 의 적분 값이 그 위라고 N 의 번째 모멘트 확률 분포 . 보다 일반적으로, F밀도 함수가 없을 수있는 확률 분포의 누적 확률 분포 함수 인 경우 확률 분포의 n 번째 모멘트는 Riemann-Stieltjes 적분으로 제공됩니다.

여기서 X이 누적 분포 F 가있는 랜덤 변수 이고 E기대 연산자 또는 평균입니다.

언제

그 순간은 존재하지 않는다고합니다. 경우 n은 임의의 점에 대한 번째 순간이 존재하므로 수행 ( N - 1) 번째 순간 (따라서, 모든 하위 차 모멘트) 모든 점에 대해.

확률 밀도 함수 의 면적이 1 과 같아야 하므로 확률 밀도 함수 의 0 번째 모멘트 는 1 입니다.

분포의 명명 된 속성과 관련된 모멘트 (원시, 중앙, 정규화) 및 누적 (원시, 정규화)의 중요성
모멘트
서수
순간 누적
노골적인 본부 표준화 노골적인 정규화
1 평균 0 0 평균 N / A
2 변화 1 변화 1
왜곡도 왜곡도
4 (비 초과 또는 과거) 첨도 과잉 첨도
5 과왜도
6 Hypertailedness
7+

평균

첫 번째 원시 순간은 일반적으로 표시 되는 평균입니다 .

변화

두 번째 중심 모멘트분산 입니다. 분산의 양의 제곱근은 표준 편차입니다.

표준화 된 순간

정규화 N 중앙 모멘트 번째 또는 표준화 모멘트이고 , N 에 의해 분할 된 중앙 모멘트 번째 σ N ; 랜덤 변수 X 의 정규화 된 n 번째 중심 모멘트 는 다음과 같습니다.

이러한 정규화 된 중심 모멘트는 차원이없는 수량으로 , 선형 스케일 변화에 관계없이 분포를 나타냅니다.

전기 신호의 경우 첫 번째 순간은 DC 레벨이고 두 번째 순간은 평균 전력에 비례합니다. [2] [3]

왜곡도

세 번째 중심 모멘트는 분포의 일방적 인 정도입니다. 모든 대칭 분포는 정의 된 경우 0의 세 번째 중심 모멘트를 갖습니다. 정규화 된 세 번째 중심 모멘트는 왜도 라고하며 종종 γ 입니다. 왼쪽으로 치우친 분포 (분포의 꼬리가 왼쪽에서 더 길다)는 음의 왜도를 갖습니다. 오른쪽으로 치우친 분포 (분포의 꼬리가 오른쪽에서 더 길다)는 양의 왜도를 갖습니다.

정규 분포너무 다르지 않은 분포 의 경우 중앙값μγσ / 6 근처에 있습니다 . 모드 에 대한 μ - γσ / 2 .

첨도

네 번째 중심 모멘트는 동일한 분산의 정규 분포와 비교하여 분포 꼬리의 무거움을 측정 한 것입니다. 4 승에 대한 기대이기 때문에 정의 된 4 번째 중심 순간은 항상 음이 아닙니다. 포인트 분포를 제외하고 는 항상 엄격하게 양수입니다. 정규 분포의 네 번째 중심 모멘트는 3 σ 4 입니다.

첨도 κ는 표준화 제 중앙 모멘트 (등가 다음 섹션에서와 같이 과량의 첨도는 네 번째 정의된다 cumulant 제의 제곱으로 나눈 cumulant이 .) [4] [5] 분포가있는 경우 무거운 꼬리 첨도가 높을 것입니다 (때로는 leptokurtic이라고도 함). 반대로 가벼운 꼬리 분포 (예 : 균일 한 경계 분포)는 첨도가 낮습니다 (때로는 platykurtic이라고도 함).

첨도는 제한없이 양수일 수 있지만 κγ 2 + 1 이상이어야합니다 . 평등은 이진 분포 에만 적용됩니다 . 정규에서 그리 멀지 않은 비 한계 치우침 분포의 경우 κγ 22 γ 2 영역에있는 경향이 있습니다 .

불평등은 다음을 고려하여 입증 할 수 있습니다.

여기서 T = ( Xμ ) / σ . 이것은 정사각형의 기대이므로 모든 a에 대해 음이 아닙니다 . 그러나 그것은 또한 차입니다 다항식. 그것의 판별 자는 필수 관계를 제공하는 양성이 아니어야합니다.

혼합 된 순간

혼합 모멘트 는 여러 변수를 포함하는 모멘트입니다.

몇 가지 예로는 공분산 , coskewnesscokurtosis가 있습니다. 고유 한 공분산이 있지만 공 왜곡과 공분산이 여러 개 있습니다.

더 높은 순간

고차 순간 은 4 차 순간을 넘어서는 순간입니다. 분산, 왜도 및 첨도와 마찬가지로 이들은 데이터의 비선형 조합을 포함하는 고차 통계 이며 추가 형상 매개 변수 의 설명 또는 추정에 사용할 수 있습니다 . 모멘트가 높을수록 유사한 품질의 추정치를 얻기 위해 더 큰 샘플이 필요하다는 점에서 추정하기가 더 어렵습니다. 이는 고차가 소비 하는 과도한 자유도 때문입니다 . 더 나아가, 그것들은 해석하기가 미묘 할 수 있으며, 종종 낮은 차수 모멘트 측면에서 가장 쉽게 이해됩니다 . 물리학 에서 저크jounce 의 높은 도함수를 비교합니다.. 예를 들어 4 차 모멘트 (첨도)가 "분산을 유발하는 데있어 꼬리 대 어깨의 상대적 중요성"으로 해석 될 수있는 것처럼 (주어진 분산에 대해 높은 첨도는 무거운 꼬리에 해당하고 낮은 첨도는 넓은 어깨에 해당), 5 차 모멘트는 "스큐를 유발하는 데있어 꼬리 대 중심 (모드, 어깨)의 상대적 중요성"을 측정하는 것으로 해석 될 수 있습니다 (주어진 스큐에 대해 높은 5 번째 모멘트는 무거운 꼬리에 해당하고 모드의 작은 움직임에 해당하는 반면 낮은 5 번째 모멘트는 해당 어깨의 더 많은 변화).

순간의 속성

센터의 변신

이후:

어디 는 IS 이항 계수는 , 그 순간에 대한 것으로 다음과 B가 관해 순간에서 계산 될 수 기준 :

함수의 컨볼 루션 순간

컨볼 루션의 순간 읽다

어디 나타냅니다 괄호 안에 주어진 함수의 순간. 이 아이덴티티는 모멘트 생성 기능에 대한 컨볼 루션 정리와 제품 차별화를위한 체인 규칙을 적용합니다.

누적

첫 번째 원시 모멘트와 두 번째 및 세 번째 비정규 화 중심 모멘트는 XY독립적 인 랜덤 변수 라는 의미에서 가산 적입니다.

(독립성보다 약한 조건을 만족하는 변수에 대해서도 유지 될 수 있습니다. 첫 번째는 항상 유지되고 두 번째가 유지되면 변수는 상관 관계가 없습니다 .)

사실, 이들은 처음 세 개의 누적 물이며 모든 누적 물은이 가산 성을 공유합니다.

샘플 순간

모든 k 에 대해 모집단 k 번째 원시 모멘트는 k 번째 원시 샘플 모멘트를 사용하여 추정 할 수 있습니다.

모집단에서 추출한 표본 X 1 ,…, X n에 적용됩니다 .

원시 샘플 모멘트의 예상 값은 모멘트가 존재하는 경우 모든 샘플 크기 n에 대해 모집단 k 번째 원시 모멘트와 같다는 것을 알 수 있습니다 . 따라서 편향되지 않은 추정치입니다. 이것은 계산이 표본 평균을 사용하여 자유도를 사용하는 중심 모멘트의 상황과 대조됩니다. 예를 들어 모집단 분산 (두 번째 중심 모멘트)의 편향되지 않은 추정값은 다음과 같습니다.

이전 분모 n 이 자유도 n − 1 로 대체되었으며, 여기서샘플 평균을 나타냅니다. 이 모집단 모멘트 추정값은 조정되지 않은 관측 샘플 모멘트보다 이를 "조정 된 샘플 분산"또는 간단히 "샘플 분산"이라고합니다.

순간의 문제

순간 문제 서열 특성화 구하고 { μ를 ' N : N = 1, 2, 3, ...} 함수의 몇몇 순간 시퀀스임을 f는 .

부분적인 순간

부분적 순간을 "일방적 순간"이라고도합니다. N 기준점에 하부 및 상부 부분 순간 대하여 번째 순서 R은 다음과 같이 표현 될 수있다

부분 모멘트는 1 / n 제곱하여 정규화됩니다 . 여력 비율 정규화 2 차 모멘트 하부 부분 일차 상부 부분 모멘트의 비율로 표현 될 수있다. 그들은 순전히 상승 또는 하락에 초점을 맞추기 때문에 Sortino 비율 과 같은 일부 재무 메트릭의 정의에 사용되었습니다 .

미터법 공간의 중심 순간

하자 ( M , D는 )거리 공간 및 B (하자 M이 )이있을 보렐 σ -algebraMσ -algebra 의해 생성 된 - 오픈 서브 세트M . (기술적 인 이유로 M미터법 d에 대해 분리 가능한 공간 이라고 가정하는 것도 편리합니다 .) 1 ≤ p ≤ ∞로 가정 합니다.

주어진 점 x 0M 에 대한 측정 가능한 공간 ( M , B ( M ))에 대한 측정 μp 번째 중심 모멘트 는 다음과 같이 정의됩니다.

x 0 에 대한 μp 번째 중심 모멘트가 일부 x 0M에 대해 유한 하다면 μ유한 p 번째 중심 모멘트 를 갖는다 고합니다 .

대책이 용어는 통상의 방법으로 임의의 변수를 통해 운반 : 만약 (Ω, Σ, P가 ) A는 확률 공간X는 : Ω → M은 랜덤 변수 다음 인 P 번째 중앙 모멘트X 에 대한 X 0M 은 다음과 같이 정의됩니다.

X가 갖는 유한 P 중앙 번째 모멘트를 경우 생성 P 의 중앙 번째 모멘트 X가 에 대해 X 0하는 일부 유한 X 0M .

또한보십시오

참고 문헌

  1. ^ "보관 된 사본" . 2009 년 5 월 28 일에 원본 문서에서 보존 된 문서 . 만회하는 2009-06-24을 .CS1 maint: archived copy as title (link) 수학 세계의 원시 순간
  2. Clive Maxfield; John Bird; 팀 윌리엄스; 월트 케스터; 댄 벤 스키 (2011). 전기 공학 : 모든 것을 알고 있습니다. 뉴 네스. 피. 884. ISBN 978-0-08-094966-6.
  3. Ha H. Nguyen; Ed Shwedyk (2009). 디지털 커뮤니케이션의 첫 번째 과정 . 캠브리지 대학 출판부. 피. 87 . ISBN 978-0-521-87613-1.
  4. Casella, George ; Berger, Roger L. (2002). 통계적 추론 (2 ed.). 퍼시픽 그 로브 : Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.
  5. Ballanda, Kevin P .; MacGillivray, HL (1988). "첨도 : 비판적 검토". 미국 통계 학자 . 미국 통계 협회. 42 (2) : 111–119. DOI : / 2684482 10.2307을 . JSTOR 2684482 .

추가 읽기

외부 링크