평균 제곱 오차 - Mean squared error

에서는 통계평균 제곱 오차 ( MSE ) [1] [2] 또는 평균 제곱 편차 ( MSD 의 AN) 추정기 (관측되지 않은 양을 추정하는 절차의) 측정 값 의 평균 의 제곱의 에러 는 - 즉 추정 값과 실제 값 간의 평균 제곱 차이. MSE는 제곱 오차 손실 예상 값해당 하는 위험 함수 입니다. MSE가 거의 항상 엄격하게 양수 (0이 아님)라는 사실은 무작위성 또는 추정기더 정확한 추정치를 생성 할 수있는 정보설명하지 않습니다 . [삼]

MSE는 추정기의 품질을 측정하는 척도입니다. 항상 음수가 아니며 0에 가까운 값이 더 좋습니다.

MSE는 오류의 두 번째 모멘트 (원점에 대한)이므로 추정기 분산 (추정값이 한 데이터 샘플 에서 다른 데이터 샘플얼마나 널리 퍼져 있는지 )과 편향 (평균 추정값에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 )을 모두 통합합니다. 진정한 가치에서). 들어 바이어스 추정기 의 MSE는 추정기의 분산이다. 분산과 마찬가지로 MSE는 추정되는 수량의 제곱과 동일한 측정 단위를 갖습니다. 표준 편차 와 유사하게 MSE의 제곱근을 취하면 제곱 평균 오차 또는 제곱 평균 편차 가 산출됩니다.(RMSE 또는 RMSD), 예상 수량과 동일한 단위가 있습니다. 편향되지 않은 추정량의 경우 RMSE는 표준 오차 로 알려진 분산의 제곱근입니다 .

정의 및 기본 속성

MSE는 예측 변수 (즉, 임의의 입력을 임의의 변수 값 샘플에 매핑하는 함수 ) 또는 추정기 (즉, 데이터 샘플매개 변수추정값에 매핑하는 수학적 함수) 의 품질을 평가합니다. 모집단 데이터가 샘플링되는). MSE의 정의는 예측 변수를 설명하는지 또는 추정자를 설명하는지에 따라 다릅니다.

예언자

벡터의 경우 모든 변수에 대한 n 개의 데이터 포인트 샘플에서 예측이 생성됩니다. 예측되는 변수의 관측 값으로 구성된 벡터입니다. 예측 된 값 (예 : 최소 제곱 피팅에서) 인 경우 예측 변수의 표본 내 MSE는 다음과 같이 계산됩니다.

즉, MSE는 평균입니다. 오차제곱의 . 이것은 특정 샘플에 대해 쉽게 계산할 수있는 양입니다 (따라서 샘플에 따라 다름).

에서는 행렬 표기법

어디 이다 이다 매트릭스.


MSE는 또한 이 목적을 위해 보류되었거나 이러한 데이터가 새로 획득 되었기 때문에 모델을 추정하는 데 사용되지 않은 q 데이터 포인트 에서 계산 될 수 있습니다 . 이 프로세스 ( 교차 검증 이라고 함)에서 MSE는 종종 평균 제곱 예측 오차 라고하며 다음 과 같이 계산됩니다.

평가자

추정 자의 MSE 알 수없는 매개 변수와 관련하여 [2] 로 정의됩니다 .

이 정의는 미지의 매개 변수에 따라 달라집니다,하지만 MSE는 선험적 추정량의 속성입니다. MSE는 모든 경우에 알려지지 않은 파라미터의 함수가 될 수 추정기 이러한 파라미터들의 추정치들에 기초하여 상기 MSE의은 (따라서 랜덤 변수) 데이터의 함수가 될 것이다. 견적자가 표본 통계로 도출되고 일부 모집단 모수를 추정하는 데 사용되며, 기대치는 표본 통계의 표본 분포에 대한 것입니다.

MSE는 추정기 분산 과 추정기의 편향 제곱 의 합으로 작성 될 수 있으며 , MSE를 계산하는 유용한 방법을 제공하고 편향되지 않은 추정 자의 경우 MSE와 분산이 동일 함을 의미합니다. [4]

분산 및 편향 관계 증명

또는 우리는

그러나 실제 모델링의 경우 MSE는 모델 분산, 모델 편향 및 축소 불가능한 불확실성의 추가로 설명 될 수 있습니다. 관계에 따르면 추정 자의 MSE 는 추정자 분산 및 편향 정보를 포함하는 효율성 비교에 간단히 사용할 수 있습니다 . 이를 MSE 기준이라고합니다.

회귀에서

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset[5], but whose the limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n-p) for p regressors or (n-p-1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).[6] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, "mean squared error", often referred to as mean squared prediction error or "out-of-sample mean squared error", can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples

Mean

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average[1]

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), 따라서 편향되지 않은 표본 분산 이라고도 하며 MSE는 [7]

어디 분포 또는 인구 의 네 번째 중심 순간 입니다.는 IS 초과 첨도는 .

그러나 다른 추정치를 사용할 수 있습니다. 비례하는 , 적절한 선택은 항상 더 낮은 평균 제곱 오차를 제공 할 수 있습니다. 우리가 정의한다면

그런 다음 계산합니다.

이것은 다음과 같은 경우 최소화됩니다.

A의 가우스 분포 ,, 이는 합계를 다음으로 나눌 때 MSE가 최소화됨을 의미합니다. . 최소 초과 첨도는 다음과 같습니다., [A] a로 달성되는 베르누이 분포P = 1/2 (동전 던지기) 및 MSE는 최소화된다위한 Hence regardless of the kurtosis, we get a "better" estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one "shrinks" the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ2, for the Gaussian case.[8]

True value Estimator Mean squared error
= the unbiased estimator of the population mean,
= the unbiased estimator of the population variance,
= the biased estimator of the population variance,
= the biased estimator of the population variance,

Interpretation

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum Variance Unbiased Estimator).

Both linear regression techniques such as analysis of variance estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications

  • Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
  • In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model's predictive ability.
  • In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics[citation needed], though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.[9]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.[10] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also

Notes

  1. ^ This can be proved by Jensen's inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References

  1. ^ a b "List of Probability and Statistics Symbols". Math Vault. 2020-04-26. Retrieved 2020-09-12.
  2. ^ a b "Mean Squared Error (MSE)". www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
  3. ^ a b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
  4. ^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
  5. ^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.CS1 maint: others (link)
  6. ^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
  7. ^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
  8. ^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
  9. ^ Berger, James O. (1985). "2.4.2 Certain Standard Loss Functions". Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611 .
  10. Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). "큰 마진 분류기를위한 지향적 인 주성분 분석". 신경망 . 14 (10) : 1447–1461. doi : 10.1016 / S0893-6080 (01) 00106-X . PMID 11771723 .