Lipschitz 연속성 - Lipschitz continuity

Lipschitz 연속 함수의 경우 원점을 그래프를 따라 이동할 수있는 이중 원뿔 (흰색)이있어 전체 그래프가 항상 이중 원뿔 외부에 유지됩니다.

에서는 수학적 분석 , 립시 츠 연속 함수 따서, 루돌프 립시 츠는 , 강한 형태 균일 연속성 위한 기능 . 직관적으로 Lipschitz 연속 함수 는 변경 속도가 제한됩니다.이 함수의 그래프에있는 모든 점 쌍에 대해 이들을 연결하는 선 기울기의 절대 값 이 다음보다 크지 않은 실수가 존재합니다. 이 실수; 이러한 가장 작은 경계를 함수 Lipschitz 상수 (또는 균일 연속성 계수 )라고합니다. 예를 들어, 경계 1 차 도함수를 가진 모든 함수는 Lipschitz 연속 형입니다.[1]

미분 방정식 이론 에서 Lipschitz 연속성은 초기 값 문제 에 대한 솔루션의 존재와 고유성을 보장하는 Picard-Lindelöf 정리 의 중심 조건입니다 . 수축 이라고하는 특별한 유형의 Lipschitz 연속성 Banach 고정 소수점 정리에 사용 됩니다. [2]

우리는 실제 라인 폐쇄 및 경계가 아닌 사소하지 않은 간격에 대한 함수에 대해 다음과 같은 엄격한 포함 체인을 가지고 있습니다.

지속적으로 차별화 가능한 Lipschitz 연속 α- Hölder 연속

여기서 0 <α ≤ 1입니다.

Lipschitz 연속절대 연속 .

정의

주어 두 거리 공간 ( X , D X ) 및 ( Y , D Y ) 여기서, (D) X 이고 메트릭 세트에 XD Y는 집합 메트릭 인 Y , 함수 F : XY는 호출 립 시즈 연속 만약 X의 모든 x 1x 2대해 실제 상수 K ≥ 0 이 존재합니다 .

[삼]

이러한 모든 K함수 f에 대한 Lipschitz 상수 라고합니다 . 가장 작은 상수는 때때로 (최상의) Lipschitz 상수 라고 합니다 . 그러나 대부분의 경우 후자의 개념은 관련성이 낮습니다. 경우 K = 1 함수 호출 짧은 맵 , 0 ≤ 경우 K <1, f는 그 자체로 거리 공간 매핑 함수가 호출 수축 .

특히, 실수 값 함수 F : RR은 양의 실수를 상수 K가 존재하는 경우, 연속적인 립 시즈라고 예컨대, 그 모두를위한 X 1X 2 ,

이 경우 Y표준 메트릭 d Y ( y 1 , y 2 ) = |를 사용하는 실수 R 의 집합입니다. y 1y 2 |이고 XR 의 부분 집합입니다 .

일반적으로 x 1 = x 2 이면 부등식이 (사소하게) 충족됩니다 . 그렇지 않으면 모든 x 1x 2에 대해 상수 K ≥ 0 이 존재하는 경우에만 함수를 Lipschitz 연속 형으로 동등하게 정의 할 수 있습니다 .

여러 실수 변수의 실수 값 함수의 경우 모든 시컨트 라인의 기울기의 절대 값이 K 로 제한되는 경우에만 적용됩니다 . 함수 그래프의 한 점을 통과하는 기울기 K 선 세트는 원형 원뿔을 형성하고 함수의 그래프가이 원뿔 외부에 완전히있는 경우에만 함수는 Lipschitz입니다 (그림 참조).

함수가 호출되는 연속 립 시즈 국소 용 만약 모든 XX 존재 이웃 UX 되도록 F 제한 U는 연속식이 립 시즈가있다. 마찬가지로, X국부적으로 압축 된 메트릭 공간이면 fX의 모든 압축 부분 집합에서 Lipschitz 연속 형인 경우에만 국부적으로 Lipschitz 입니다. 국부적으로 콤팩트하지 않은 공간에서는 이것이 필요하지만 충분한 조건은 아닙니다.

보다 일반적으로, X에 정의 된 함수 fHölder 연속적 이거나 상수 M ≥ 0 이있는 경우 X 에서 차수 α> 0 Hölder 조건 을 충족 한다고합니다.

X의 모든 xy 에 대해 . 때때로 α 차의 Hölder 조건은 α> 0 균일 한 Lipschitz 조건 이라고도합니다 .

K ≥ 1 이있는 경우

then f is called bilipschitz (also written bi-Lipschitz). A bilipschitz mapping is injective, and is in fact a homeomorphism onto its image. A bilipschitz function is the same thing as an injective Lipschitz function whose inverse function is also Lipschitz.

Examples

Lipschitz continuous functions
  • The function defined for all real numbers is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant K = 1, because it is everywhere differentiable and the absolute value of the derivative is bounded above by 1. See the first property listed below under "Properties".
  • 마찬가지로, 사인 함수는 그 미분 인 코사인 함수가 절대 값에서 1만큼 위에 제한되기 때문에 Lipschitz 연속 형입니다.
  • 함수 f ( x ) = | x | 실수에 정의 된 Lipschitz 연속 형은 Lipschitz 상수가 1과 같고 역 삼각형 부등식에 의해 . 이것은 미분 할 수없는 Lipschitz 연속 함수의 예입니다. 보다 일반적으로 벡터 공간 은 관련 메트릭에 대해 Lipschitz 연속 형이며 Lipschitz 상수는 1입니다.
어디에서나 구별 할 수없는 Lipschitz 연속 함수
  • 함수
모든 곳에서 미분 할 수 있지만 지속적으로 미분 할 수없는 Lipschitz 연속 함수
  • 함수 , whose derivative exists but has an essential discontinuity at .
Continuous functions that are not (globally) Lipschitz continuous
  • The function f(x) = x defined on [0, 1] is not Lipschitz continuous. This function becomes infinitely steep as x approaches 0 since its derivative becomes infinite. However, it is uniformly continuous,[4] and both Hölder continuous of class C0, α for α ≤ 1/2 and also absolutely continuous on [0, 1] (both of which imply the former).
Differentiable functions that are not (locally) Lipschitz continuous
  • The function f defined by f(0) = 0 and f(x) = x3/2sin(1/x) for 0<x≤1 gives an example of a function that is differentiable on a compact set while not locally Lipschitz because its derivative function is not bounded. See also the first property below.
Analytic functions that are not (globally) Lipschitz continuous
  • The exponential function becomes arbitrarily steep as x → ∞, and therefore is not globally Lipschitz continuous, despite being an analytic function.
  • The function f(x) = x2 with domain all real numbers is not Lipschitz continuous. This function becomes arbitrarily steep as x approaches infinity. It is however locally Lipschitz continuous.

Properties

  • An everywhere differentiable function g : RR is Lipschitz continuous (with K = sup |g′(x)|) if and only if it has bounded first derivative; one direction follows from the mean value theorem. In particular, any continuously differentiable function is locally Lipschitz, as continuous functions are locally bounded so its gradient is locally bounded as well.
  • Lipschitz 함수 g : RR절대적으로 연속적 이므로 거의 모든 곳 에서 미분 할 수 있습니다 . 즉, Lebesgue 측정 값 0 세트 외부의 모든 지점에서 미분 할 수 있습니다. 그 미분은 본질적으로 Lipschitz 상수에 의해 크기가 제한 되며, a < b 의 경우 차이 g ( b ) -g ( a )는 구간 [ a , b ] 에서 미분 g ' 의 적분과 같습니다 .
    • Conversely, if f : IR is absolutely continuous and thus differentiable almost everywhere, and satisfies |f′(x)| ≤ K for almost all x in I, then f is Lipschitz continuous with Lipschitz constant at most K.
    • 보다 일반적으로, Rademacher의 정리 는 미분 결과를 유클리드 공간 간의 Lipschitz 매핑으로 확장합니다. Lipschitz 맵 f : UR m , 여기서 UR n 의 열린 집합 이며 거의 모든 곳에서 미분 가능 합니다. 또한 Kf 의 최상의 Lipschitz 상수 이면총 미분 Df 가 존재할 때마다 .
  • 차별화 가능한 Lipschitz 맵 f : UR m 불평등 holds for the best Lipschitz constant of f, and it turns out to be an equality if the domain U is convex.[further explanation needed]
  • Suppose that {fn} is a sequence of Lipschitz continuous mappings between two metric spaces, and that all fn have Lipschitz constant bounded by some K. If fn converges to a mapping f uniformly, then f is also Lipschitz, with Lipschitz constant bounded by the same K. In particular, this implies that the set of real-valued functions on a compact metric space with a particular bound for the Lipschitz constant is a closed and convex subset of the Banach space of continuous functions. This result does not hold for sequences in which the functions may have unbounded그러나 Lipschitz 상수. 사실, 콤팩트 한 미터법 공간에서 모든 Lipschitz 함수의 공간은 연속 함수의 Banach 공간의 부대 수이므로 그 안에 조밀하며 Stone-Weierstrass 정리 (또는 Weierstrass 근사 정리 의 결과로)의 기본 결과입니다 . 모든 다항식은 로컬에서 Lipschitz 연속이기 때문입니다).
  • Every Lipschitz continuous map is uniformly continuous, and hence a fortiori continuous. More generally, a set of functions with bounded Lipschitz constant forms an equicontinuous set. The Arzelà–Ascoli theorem implies that if {fn} is a uniformly bounded sequence of functions with bounded Lipschitz constant, then it has a convergent subsequence. By the result of the previous paragraph, the limit function is also Lipschitz, with the same bound for the Lipschitz constant. In particular the set of all real-valued Lipschitz functions on a compact metric space X having Lipschitz constant ≤ K is a locally compact convex subset of the Banach space C(X).
  • For a family of Lipschitz continuous functions fα with common constant, the function (and ) is Lipschitz continuous as well, with the same Lipschitz constant, provided it assumes a finite value at least at a point.
  • If U is a subset of the metric space M and f : UR is a Lipschitz continuous function, there always exist Lipschitz continuous maps MR which extend f and have the same Lipschitz constant as f (see also Kirszbraun theorem). An extension is provided by
where k is a Lipschitz constant for f on U.

Lipschitz manifolds

Let U and V be two open sets in Rn. A function T : UV is called bi-Lipschitz if it is a Lipschitz homeomorphism onto its image, and its inverse is also Lipschitz.

Using bi-Lipschitz mappings, it is possible to define a Lipschitz structure on a topological manifold, since there is a pseudogroup structure on bi-Lipschitz homeomorphisms. This structure is intermediate between that of a piecewise-linear manifold and a smooth manifold. In fact a PL structure gives rise to a unique Lipschitz structure;[5] it can in that sense 'nearly' be smoothed.

One-sided Lipschitz

Let F(x) be an upper semi-continuous function of x, and that F(x) is a closed, convex set for all x. Then F is one-sided Lipschitz[6] if

for some C and for all x1 and x2.

It is possible that the function F could have a very large Lipschitz constant but a moderately sized, or even negative, one-sided Lipschitz constant. For example, the function

has Lipschitz constant K = 50 and a one-sided Lipschitz constant C = 0. An example which is one-sided Lipschitz but not Lipschitz continuous is F(x) = ex, with C = 0.

See also

References

  1. ^ Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. Vol. 231. Birkhäuser. p. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
  2. ^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. p. 623.
  3. ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7
  4. ^ Robbin, Joel W., Continuity and Uniform Continuity (PDF)
  5. ^ SpringerLink: Topology of manifolds
  6. ^ Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions". SIAM Journal on Control and Optimization. 36 (2): 780–796. doi:10.1137/S0363012995293694.