아핀 변환 - Affine transformation

유사 자기 유사성 을 나타내는 고사리 모양의 프랙탈 ( 반 슬리 고사리 ) 이미지 . 고사리의 각 잎은 아핀 변형에 의해 서로 잎과 관련이 있습니다. 예를 들어, 붉은 잎은 반사, 회전, 크기 조절 및 평행 이동의 조합에 의해 진한 파란색 잎과 밝은 파란색 잎 모두로 변형 될 수 있습니다.

에서는 유클리드 기하학 , 아핀 변환 또는 선호도 (라틴어 affinis입니다가 "접속"), A는 기하학적 변환 이 보존 된 라인병렬 처리 (그러나 반드시 거리각도 ).

더 일반적으로, 아핀 변환동형 의 AN 아핀 공간 (유클리드 공간 특정 아핀 공간이다), A는 해당 함수 매핑 양 유지하면서 자체에 아핀 공간 차원 임의의 아핀 부분 공간이 (가 가리키는를 전송한다는 것을 의미 점, 선 대 선, 평면 대 평면 등) 및 평행 길이의 비율선분. 결과적으로, 병렬 아핀 부분 공간 세트는 아핀 변환 후에도 병렬로 유지됩니다. 아핀 변환은 직선에있는 점 사이의 거리 비율을 유지하지만 선 사이의 각도 또는 점 사이의 거리를 반드시 보존하지는 않습니다.

경우 X는 아핀 공간의 세트 포인트가 다음에 모든 아핀 변환 X는 으로서 표현 될 수있다 조성물 (A)의 선형 변환X번역X . 순수 선형 변환과 달리 아핀 변환은 아핀 공간의 원점을 보존 할 필요가 없습니다. 따라서 모든 선형 변환이 아핀이지만 모든 아핀 변환이 선형 인 것은 아닙니다.

아핀 변환의 예에는 번역, 스케일링 , 동질성 , 유사성 , 반사 , 회전 , 전단 매핑 및 임의의 조합 및 시퀀스에서 이들의 구성이 포함됩니다.

a의 보완 등 아핀 공간보기 무한 초평면 (A)의 투영 공간 , 아핀 변환이있는 사영 변환 무한대의 초평면을 떠나 그 투영 공간의 불변 하는 초평면의 보수에 제한은.

아핀 변환 일반화 는 동일한 필드 k 위의 두 (잠재적으로 다른) 아핀 공간 간의 아핀 맵 [1] (또는 아핀 동형 또는 아핀 매핑 ) 입니다. 하자 ( X , V , K )( Z는 , W는 , k는 ) 두 아핀 공간 될 XZ 지점 세트와 VW 각각 연결된 벡터 공간 필드 위에 K . 맵의 F : XZ는 존재한다면 아핀 맵 선형지도 m F : VW 되도록 m의 F ( X - Y ) = F ( X -) F ( Y ) 모두를위한 X, Y 에서 X가 . [2]

정의

하자 ( X , V , K는 ) 적어도 두 차원 아핀 공간의 수 X 지점 세트 및 V 필드 위에 연결된 벡터 공간 (K) . Xsemiaffine 변환 f다음을 만족하는 X의 자체에 대한 bijection 입니다 . [3]

  1. 경우 S가 A는 D 차원 아핀 부분 공간X , F ( S )(D) 차원 서브 스페이스의 아핀 X .
  2. 경우 ST는 병렬 아핀 서브 스페이스이다 X 이어서, F ( S는 ) || f ( T ) .

이 두 조건은 " f 는 병렬성을 보존 한다"라는 표현이 정확히 의미하는 바를 표현합니다 .

이러한 조건은 두 번째 조건이 첫 번째 조건과 다르기 때문에 독립적이지 않습니다. [4] 필드 경우 또한, K는 적어도 세 가지 요소를 가지며, 첫 번째 조건으로 단순화 될 수있다 : F는 A는 collineation , 그것은 선 라인 매핑. [5]

아핀 공간의 치수 경우 ( X , V , K는 ) 적어도 두개이다 후 , 아핀 변환 semiaffine 변환 인 F 를 만족하는 조건은 다음의 경우 , XYPQ는 곳이다 X는 이러한 선분은 xypq 가 병렬이면 [6]

아핀 라인

아핀 공간의 사이즈가 하나 인 경우, 즉, 공간은 어느 아핀 라인 순열X는 자동 semiaffine 변환 될 조건을 만족한다. 따라서 affine line의 affine 변환은 xypqX의 점인 경우 [7] 과 같이 X 점의 순열 f정의 됩니다 .

구조

아핀 공간의 정의에 의하면, V는 에 작용하는 X 의 모든 쌍에 대해, 있도록 ( X는 , V )X × V 포인트가 연관된 Y 에서 X가 . 이 동작을 v ( x ) = y로 나타낼 수 있습니다 . 여기서 우리는 v = vV 의 요소에 대한 두 개의 상호 교환 가능한 표기법 이라는 규칙을 사용합니다 . X 에서 c 를 고정함으로써 함수 m c : X를 정의 할 수 있습니다 .V by m c ( x ) = cx . 모든 c 에 대해이 함수는 일대일이므로 역함수 m c −1 : VXm c −1 ( v ) = v ( c )로 주어집니다 . 이러한 함수는 다음을 정의하여 X 를 벡터 공간 (점 c에 대한)으로 변환하는 데 사용할 수 있습니다 . [8]

이 벡터 공간은 원점 c를 가지며 공식적으로 아핀 공간 X 와 구별되어야 하지만 일반적인 관행은 동일한 기호로 표시하고 원점이 지정된 벡터 공간이라고 언급하는 것입니다 . 이 식별을 통해 포인트를 벡터로 볼 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

어떤 들면 선형 변환 λV , 우리는 함수를 정의 할 수 L ( C , λ를 :) XX 의해

그러면 L ( c , λ )c를 고정 된 상태로 두는 X 의 아핀 변환입니다 . [9] 이것은 원점이 c 인 벡터 공간으로 간주되는 X 의 선형 변환입니다 .

하자 σ 될 어떤 아핀 변환 X를 . X 에서 c선택 하고 벡터에 의한 X 의 변환을 고려하십시오., T w 로 표시됩니다 . 번역은 아핀 변환이고 아핀 변환의 구성은 아핀 변환입니다. 이 선택을위한 C 고유 선형 변환이 존재 λV가 되도록 [10]

즉, 임의의 아핀 변환 X는 선형 변환의 조성 및 X (벡터 공간으로 간주)과의 병진 X .

이 아핀 변환 표현은 종종 아핀 변환의 정의로 간주됩니다 (원점 선택은 암시적임). [11] [12] [13]

대표

위와 같이 아핀 맵은 번역과 선형 맵의 두 기능으로 구성됩니다. 일반 벡터 대수는 행렬 곱셈사용 하여 선형 맵 을 나타내고 벡터 추가 를 사용하여 변환을 나타냅니다. 공식적으로 유한 차원의 경우 선형 맵이 행렬의 곱셈으로 표현되면 그리고 벡터의 추가로 번역 , 아핀 맵 벡터에 작용 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

증강 행렬

2D 평면에서 아파 인 변환은 3 차원의 선형 변환으로 수행 할 수 있습니다. 변환은 z 축을 따라 전단하여 수행되고 회전은 z 축을 중심으로 수행됩니다.

사용 증강 행렬 및 벡터를 증강, 상기 번역 번의 이용한 선형 맵 모두 표현할 수있다 행렬 곱셈 . 이 기법을 사용하려면 모든 벡터의 끝에 "1"이 추가되고, 모든 행렬은 맨 아래에 0으로 구성된 추가 행, 오른쪽에 추가 열 (변환 벡터), 오른쪽 하단 모서리. 만약 행렬이고

다음과 같습니다.

위에서 언급 한 증강 행렬을 아핀 변환 행렬 이라고합니다 . 일반적으로 마지막 행 벡터가, 행렬은 투영 변환 행렬이됩니다 ( 투영 변환 을 수행하는데도 사용될 수 있기 때문 ).

이 표현은 모든 반전 가능한 아핀 변환 집합다음의 반 직접 곱 으로 나타냅니다.. 이것은 인 그룹 호출 기능 조성물의 운전시 아핀 기 .

일반 행렬-벡터 곱셈은 항상 원점을 원점에 매핑하므로 원점이 반드시 다른 점에 매핑되어야하는 변환을 나타낼 수 없습니다. 모든 벡터에 추가 좌표 "1"을 추가하면 기본적으로 공간이 추가 차원이있는 공간의 하위 집합으로 매핑되는 것으로 간주됩니다. 그 공간에서 원래 공간은 추가 좌표가 1 인 부분 집합을 차지합니다. 따라서 원래 공간의 원점은 다음에서 찾을 수 있습니다.. 그러면 고차원 공간의 선형 변환을 통해 원래 공간 내에서 변환이 가능합니다 (특히 전단 변환). 고차원 공간의 좌표동종 좌표 의 예입니다 . 원래 공간이 유클리드 인 경우 더 높은 차원의 공간은 실제 투영 공간 입니다.

동종 좌표를 사용하는 장점은 각 행렬을 곱하여 여러 아핀 변환을 하나로 결합 할 수 있다는 것 입니다. 이 속성은 컴퓨터 그래픽 , 컴퓨터 비전로봇 공학 에서 광범위하게 사용됩니다 .

증강 행렬의 예

벡터가 있는 기반 도메인의 투영 벡터 공간 및 경우공동 도메인 벡터 공간 의 상응하는 벡터이고 다음은 증강 행렬입니다. 이 아핀 변환을 달성하는

이다

.

이 공식은 도메인, 코 도메인 및 이미지 벡터 공간의 차원 수가 동일한 지 여부에 관계없이 작동합니다.

예를 들어 벡터 평면의 아핀 변환은 세 개의 정점 ()는 퇴화되지 않은 삼각형의 (), codomain의 차원 수 및 삼각형이 codomain에서 퇴화되지 않는지 여부에 관계없이.

속성

보존 된 속성

아핀 변환은 다음을 유지합니다.

  1. 점 간 공선 성 : 같은 선에있는 세 개 이상의 점 (공선 점이라고 함)은 변환 후에도 계속 동일 선상에 있습니다.
  2. parallelism : 평행 한 두 개 이상의 선, 변환 후에도 계속 평행합니다.
  3. 집합의 볼록성 : 볼록 집합은 변환 후에도 계속 볼록합니다. 또한, 극단적 인 점 원래 세트는 변환 된 세트의 극한 점에 매핑된다. [14]
  4. 평행선 세그먼트 길이 비율 : 점으로 정의 된 별개의 평행 세그먼트 용 , , 비율 의 그것과 동일합니다 .
  5. 가중치를 적용한 포인트 모음의 중심 .

여러 떼

아핀 변환은 가역적 이므로뒤집을 수 있습니다. 행렬 표현에서 역은 다음과 같습니다.

가역적 아핀 변환 (아핀 공간 자체에 대한) 일반적인 선형 차수 그룹 을 갖는 아핀 그룹을 형성합니다. 하위 그룹으로, 그 자체가 일반 선형 학위 그룹의 하위 그룹입니다. .

유사성 변환 은 다음 같은 하위 그룹을 형성합니다.스칼라 곱하기 직교 행렬 입니다. 예를 들면, 아핀 변환은 평면에 작용하고있는 경우 만약 결정1 또는 −1이면 변환은 등가 매핑 입니다. 이러한 변환은 equi-affine 그룹 이라는 하위 그룹을 형성합니다 . [15] 동등 아핀 및 유사도 모두 인 변환은 인 등거리 변환 찍은 평면의 유클리드 거리 .

이러한 각 그룹에는 방향 보존 또는 포지티브 아핀 변환 의 하위 그룹이 있습니다.긍정적입니다. 마지막 경우에 이것은 3D의 강성 변환 그룹입니다 ( 적절한 회전 및 순수 변환).

고정 된 점이 있다면 그것을 원점으로 할 수 있고, 아핀 변환은 선형 변환으로 줄어 듭니다. 이렇게하면 변환을 더 쉽게 분류하고 이해할 수 있습니다. 예를 들어, 변환을 특정 축에 대해 특정 각도에 의한 회전으로 설명하면 변환과 회전의 조합으로 설명하는 것보다 변환의 전체 동작에 대한 더 명확한 아이디어를 얻을 수 있습니다. 그러나 이것은 응용 프로그램과 컨텍스트에 따라 다릅니다.

Affine지도

아핀 맵 아핀 공간 사이 는 벡터 (즉, 공간의 점 사이의 벡터)에서 선형으로 작동하는 점의 맵입니다 . 기호에서 선형 변환을 결정 모든 포인트 쌍에 대해 :

또는

.

이 정의를 다음과 같이 몇 가지 다른 방식으로 해석 할 수 있습니다.

원산지 선택되고 이미지를 나타냅니다. , 이것은 모든 벡터에 대해 :

.

원산지 또한 선택됩니다. 이것은 아핀 변환으로 분해 될 수 있습니다. 보내는

,

벡터에 의한 번역 .

결론은 직관적으로 번역과 선형지도로 구성됩니다.

대체 정의

두 개의 아핀 공백이 주어짐 , 동일한 필드에서 함수 모든 가족을위한 경우에만 아핀 맵 입니다. 가중 포인트 그런

,

우리는 [16]

.

다시 말해, barycenters를 보존 합니다.

역사

수학적 용어로 "affine"이라는 단어는 Euler 의 1748 Introductio in analysin infinitorum에서 곡선 에 접하는 접선과 관련하여 정의됩니다 . [17] 펠릭스 클라인 에 용어 "아핀 변환"속성 뫼비우스가우스 . [12]

이미지 변환

디지털 이미지 처리에 적용 할 때 아핀 변환은 고무 시트에 인쇄하고 시트의 가장자리를 평면에 평행하게 늘리는 것과 유사합니다. 이 변환은 이동 된 픽셀의 값을 근사화하기 위해 강도 보간이 필요한 픽셀을 재배치합니다. 바이 큐빅 보간 은 이미지 처리 응용 프로그램에서 이미지 변환의 표준입니다. 아파 인 변환은 다음 예제와 같이 이미지의 크기를 조정, 회전, 변환, 대칭 및 기울이기 : [18]

변환 이름 아핀 행렬
신원 (원본 이미지로 변환) 체커 보드 identity.svg
번역 체커 보드 identity.svg
반사 바둑판 reflection.svg
규모 바둑판 scale.svg
회전 바둑판 rotate.svg여기서 θ =π/6 = 30 °
전단 바둑판 shear.svg

아핀 변환은 두 개 이상의 이미지가 정렬 (등록)되는 등록 프로세스에 적용됩니다. 일례의 이미지 정렬은 여러 이미지의 산물 파노라마 영상의 생성이다 스티치 함께.

아핀 뒤틀림

아핀 변환은 평행선을 유지합니다. 그러나 다음 예제와 같이 늘이기 및 기울이기 변형은 모양을 왜곡합니다.

검은 색 원에 흰색 이미지 256 x 256.png Affine transform sheared circle.png

이미지 왜곡의 예입니다. 그러나 아핀 변환은 곡면 또는 방사형 왜곡 에 대한 투영을 용이하게하지 않습니다 .

비행기에서

중앙 확장. 삼각형 A1B1Z, A1C1Z 및 B1C1Z는 각각 A2B2Z, A2C2Z 및 B2C2Z에 매핑됩니다.

두 가지 실제 차원의 아파 인 변환에는 다음이 포함됩니다.

  • 순수한 번역,
  • 스케일링 배율의 방향으로 순수하지 않다 변환 결합 (반드시 수직이 아닌) 다른 방향의 선에 대하여, 소정의 방향; 일반화 된 의미에서 "스케일링"을 취하는 것은 스케일 팩터가 0 ( 예상 ) 또는 음수 인 경우를 포함합니다 . 후자는 반사를 포함 하고 이동과 결합하여 활공 반사를 포함 합니다 .
  • 동질성 과 변환이 결합 된 회전 ,
  • 동질성과 번역이 결합 된 전단 매핑 또는
  • 동질성과 번역이 결합 된 스퀴즈 매핑 .

To visualise the general affine transformation of the Euclidean plane, take labelled parallelograms ABCD and A′B′C′D′. Whatever the choices of points, there is an affine transformation T of the plane taking A to A′, and each vertex similarly. Supposing we exclude the degenerate case where ABCD has zero area, there is a unique such affine transformation T. Drawing out a whole grid of parallelograms based on ABCD, the image T(P) of any point P is determined by noting that T(A) = A′, T applied to the line segment AB is A′B′, T applied to the line segment AC is A′C′, and T respects scalar multiples of vectors based at A. [If A, E, F are collinear then the ratio length(AF)/length(AE) is equal to length(AF′)/length(AE′).] Geometrically T transforms the grid based on ABCD to that based in A′B′C′D′.

Affine transformations do not respect lengths or angles; they multiply area by a constant factor

area of A′B′C′D′ / area of ABCD.

A given T may either be direct (respect orientation), or indirect (reverse orientation), and this may be determined by its effect on signed areas (as defined, for example, by the cross product of vectors).

Examples

Over the real numbers

The functions with and in , are precisely the affine transformations of the real line.

Over a finite field

The following equation expresses an affine transformation of GF(28) viewed as an 8-dimensional vector space over GF(2), that is used in the crypto-algorithm Rijndael (AES):

where is the matrix below, is a fixed vector and Specifically,
and

For instance, the affine transformation of the element in big-endian binary notation is calculated as follows:

Thus, .

In plane geometry

A simple affine transformation on the real plane
Effect of applying various 2D affine transformation matrices on a unit square. Note that the reflection matrices are special cases of the scaling matrix.

In ℝ2, the transformation shown at left is accomplished using the map given by:

Transforming the three corner points of the original triangle (in red) gives three new points which form the new triangle (in blue). This transformation skews and translates the original triangle.

In fact, all triangles are related to one another by affine transformations. This is also true for all parallelograms, but not for all quadrilaterals.

See also

Notes

  1. ^ Berger 1987, p. 38.
  2. ^ Samuel 1988, p. 11.
  3. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 65.
  4. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 66.
  5. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 69.
  6. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 71.
  7. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 72.
  8. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 59.
  9. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 76,87.
  10. ^ Snapper & Troyer 1989, p. 86.
  11. ^ Wan 1993, pp. 19-20.
  12. ^ a b Klein 1948, p. 70.
  13. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 53.
  14. ^ Reinhard Schultz. "Affine transformations and convexity" (PDF). Retrieved 27 February 2017.
  15. ^ Oswald Veblen (1918) Projective Geometry, volume 2, pp. 105–7.
  16. ^ Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. p. 98. ISBN 978-1-55860-594-7.
  17. ^ Euler, Leonhard. "Introductio in analysin infinitorum" (in Latin). Book II, sect. XVIII, art. 442
  18. ^ Gonzalez, Rafael (2008). 'Digital Image Processing, 3rd'. Pearson Hall. ISBN 9780131687288.

References

External links