어쥬 게이트 매트릭스 - Adjugate matrix

에서는 선형 대수adjugate 또는 고전 수반 행렬 (A)의 정방 행렬은 은 IS 전치 그것의 보조 인자 행렬 . [1] 때때로 adjunct matrix 라고도합니다 . [2] [3] 이 명명법은 사용량이 감소한 것으로 보입니다.

adjugate [4] 는 때때로 "adjoint", [5] 라고 불렸지만 오늘날 행렬의 "adjoint"는 일반적으로 그에 대응하는 adjoint 연산자 , 즉 conjugate transpose를 나타 냅니다.

정의

adjugateA는 은 IS 트랜스보조 인자 행렬 C,

더 자세히 설명하면 R교환 링 이고 AR의 항목 이있는 n × n 행렬 이라고 가정 합니다 . ( , J ) - 마이너, 표시 M의 IJ를 상기 인 결정( N - 1) × ( N - 1) 행렬이 행 삭제 결과 칼럼 J . 팩터 행렬A가N × N 행렬 C 그는 ( , J ) 항목은이다 ( I , J ) 보조 인자는 IS, ( I , J ) -minor 배가 사인 팩터 :

adjugate의 A는 의 전치이며 C , 상기하다 N × N 그 행렬 ( , J ) 항목이있다 ( J , I ) 의 보조 인자 ,

어쥬 게이트는 A 와 어쥬 게이트의 곱이 대각선 항목이 det ( A ) 행렬식 인 대각선 행렬을 생성 하도록 정의됩니다 . 그건,

여기서 In × n 단위 행렬입니다. 이것은 행렬식 라플라스 확장결과입니다 .

위의 공식은 행렬 대수의 기본 결과 중 하나를 의미합니다. 즉, det ( A )R 의 반전 가능한 요소 인 경우에만 A반전 가능 합니다 . 이것이 성립되면 위의 방정식은

1 × 1 일반 매트릭스

0이 아닌 1x1 행렬 (복소 스칼라)의 어쥬 게이트는 다음과 같습니다. . 관례 적으로 adj (0) = 0입니다.

2 × 2 일반 매트릭스

2x2 행렬의 어쥬 게이트

이다

직접 계산을 통해

이 경우에도 det (adj ( A )) = det ( A )이므로 adj (adj ( A )) = A 입니다.

3 × 3 일반 매트릭스

3x3 행렬을 고려하십시오.

보조 인자 행렬은 다음과 같습니다.

어디

.

adjugate는 cofactor 행렬의 전치입니다.

.

3 × 3 숫자 형 행렬

구체적인 예로서

adjugate가 행렬식 −6 의 역배인지 확인하는 것은 쉽습니다 .

-1 다음 두 번째 행의 제 3 열에 adjugate 계산 하였다. adjugate의 (2,3) 항목은 A 의 (3,2) 보조 인자입니다 . 이 보조인은 원래 행렬의 번째 행과 번째 열의 삭제함으로써 얻어지는 행렬하여 계산된다 ,

(3,2) 보조 인자는이 부분 행렬의 행렬식에 부호를 곱한 것입니다.

그리고 이것은 adjugate의 (2,3) 항목입니다.

속성

모든 n × n 행렬 A 에 대해 기본 계산은 adjugate가 다음 속성을 누리는 것을 보여줍니다.

  • , 어디 각각 0 및 단위 행렬입니다.
  • 모든 스칼라 c에 대해 .
  • .
  • .
  • 경우 A는 다음 가역입니다. 다음과 같습니다.
    • adj ( A ) 는 역 (det A ) −1 A로 역전됩니다 .
    • adj ( A −1 ) = adj ( A ) −1 .
  • ADJ ( A는 ) 에서 entrywise 다항식 A는 . 특히 실수 또는 복소수에 대해 adjugate는 A 항목의 부드러운 함수입니다 .

복소수에 대해

  • , 여기서 막대는 복합 활용을 나타냅니다.
  • , 여기서 별표는 켤레 전치를 나타냅니다.

B 가 또 다른 n × n 행렬 이라고 가정합니다 . 그때

이것은 세 가지 방법으로 증명할 수 있습니다. 모든 교환 링에 유효한 한 가지 방법은 Cauchy-Binet 공식을 사용하여 직접 계산하는 것 입니다. 실수 나 복소수에 유효한 두 번째 방법은 먼저 역행렬 AB에 대해 관찰하는 것입니다 .

모든 비 가역 행렬이 한계 때문에 역변환 행렬 의 adjugate의 연속성은 다음의 경우에 한 수식에 해당 남아 있음을 의미 또는 B가 가역 아니다.

이전 공식의 결과는 음이 아닌 정수 k 에 대해

경우 A는 가역 인 후, 상기 화학식은 부정적인 동안 보유 K .

정체성에서

우리는 추론한다

AB로 통근 한다고 가정합니다 . 신원 곱 AB = BA 왼쪽과 오른쪽으로 형용사를 ( A는 ) 증명

경우 A는 가역이다 이는 것을 의미 ADJ ( ) 와 같은 통근 B를 . 실수 또는 복소수에서 연속성 A 가 가역적이지 않은 경우에도 adj ( A )B 와 통근 한다는 것을 의미합니다 .

마지막으로, 두 번째 증명보다 더 일반적인 증명이 있는데, nxn 행렬이 적어도 2n + 1 요소가있는 필드에 대한 항목 만 있으면됩니다 (예 : 정수 mod 11에 대한 5x5 행렬). det (A + tI)는 차수가 최대 n 인 t의 다항식이므로 최대 n 근을 갖습니다. adj ((A + tI) (B))의 ij 번째 항목은 최대 n 차의 다항식이며 adj (A + tI) adj (B)에 대해서도 마찬가지입니다. ij 번째 항목의이 두 다항식은 A + tI가 반전 가능한 필드의 n + 1 개 이상의 요소를 가지고 있기 때문에 최소한 n + 1 개의 점에서 일치하며, 역행렬의 동일성을 입증했습니다. n + 1 점에서 일치하는 n 차 다항식은 동일해야합니다 (서로 빼서 최대 n 차 다항식에 대해 n + 1 근을 갖게됩니다. 차이가 동일하지 않은 경우 모순입니다). 두 다항식이 동일하므로 t의 모든 값에 대해 동일한 값을 취합니다. 따라서 t = 0 일 때 동일한 값을 갖습니다.

위의 속성과 기타 기본 계산을 사용하면 A 에 다음 속성 중 하나가있는 경우 adj A도 수행 한다는 것을 간단하게 보여줍니다 .

  • 상부 삼각형,
  • 낮은 삼각형,
  • 대각선,
  • 직각,
  • 일원,
  • 대칭,
  • 에르 미트 사람,
  • 기울기 대칭,
  • Skew-hermitian,
  • 표준.

경우 A는 가역 인 전술 한 바와 같이, 그 다음,에 대한 식있다 ADJ ( ) 의 결정 및 역 환산 A는 . 경우 A는 가역 아닌 상기 adjugate 만족 다르지만 밀접한 관련 수식.

  • 만약 RK ( ) ≤ N - 2 다음 ADJ ( ) = 0 .
  • 만약 RK ( ) = N - 1 다음 RK (ADJ ( )) = 1 . (일부 마이너는 0이 아니므로 adj ( A ) 는 0이 아니므로 순위가 1 이상입니다. 식별 adj ( A ) A = 0adj ( A ) 의 널 공간 차원이 n 이상 임을 의미합니다. − 1 이므로 순위는 최대 1입니다.) adj ( A ) = α xy T입니다 . 여기서 α 는 스칼라이고 xy입니다.벡터되도록 도끼 = 0T Y = 0 .

열 대체 및 Cramer의 규칙

A 를 열 벡터로 분할합니다 .

하자 B는 크기의 행 벡터 일 수 없음 . 수정 1 ≤ IN 및 열 교환에 의하여 형성된 매트릭스 고려 I를하여 B를 :

라플라스는 i 열을 따라이 행렬의 행렬식을 확장합니다 . 결과는 제품 adj ( A ) b항목 i 입니다 . 가능한 다른 i에 대해 이러한 결정자를 수집하면 열 벡터가 동일합니다.

이 공식은 다음과 같은 구체적인 결과를 가져옵니다. 선형 연립 방정식을 고려하십시오.

A 가 비단 수 라고 가정합니다 . 왼쪽에있는이 시스템에 adj ( A )를 곱하고 행렬식으로 나누면

이 상황에 이전 공식을 적용하면 Cramer의 규칙 이 생성됩니다 .

여기서,는 X 은 IS I 의 번째 엔트리 (X) .

특성 다항식

송출 특성 다항식A는

첫 번째 분할 차분P가 A는 대칭 다항식 정도의 N - 1 ,

곱하기 I - 의 adjugate에 의해. 이후 P ( ) = 0 바이 케일리 - 해밀턴 정리 일부 기본 조작은 공개

특히 A분해능다음 과 같이 정의됩니다.

위의 공식에 따르면 이것은

Jacobi의 공식

adjugate도 나타납니다 코비의 공식 에 대한 파생 상품결정 . 경우 ( t가 ) 연속 미분 가능이고, 그때

결정자의 총 미분은 adjugate의 전치입니다.

Cayley–Hamilton 공식

p A ( t )A 의 특성 다항식 이라고합시다 . 케일리 - 해밀턴 정리의 상태가

상수항을 분리하고 방정식에 adj ( A )를 곱하면 Ap A ( t ) 의 계수 에만 의존하는 어쥬 게이트에 대한 표현식이 제공됩니다 . 이러한 계수는 완전한 지수 Bell 다항식을 사용하여 A 의 거듭 제곱의 트레이스 측면에서 명시 적으로 표현할 수 있습니다 . 결과 공식은 다음과 같습니다.

여기서 nA 의 차원이고 합계는 s선형 디오 판틴 방정식을 충족하는 k l ≥ 0 의 모든 시퀀스를 인수 합니다.

2 × 2 케이스의 경우

3 × 3 케이스의 경우

4 × 4 케이스의 경우

동일한 수식의 종료 단계에서 바로 다음 Faddeev-LeVerrier 알고리즘 효율적 결정 특성 다항식 .

외부 대수와의 관계

adjugate는 외부 대수를 사용하여 추상적 용어로 볼 수 있습니다 . 하자 V가N 차원 벡터 공간. 외부 제품은 바이 리니어 페어링을 정의

추상적으로 동형이다 R , 및 이러한 동형에서 외부 제품은이다 완벽한 페어링 . 따라서 동형을 생성합니다.

명시 적으로이 페어링은 vV, 어디

T : VV 가 선형 변환 이라고 가정합니다 . T( n − 1) st 외력에 의한 풀백은 Hom 공간 의 형태를 유도 합니다. adjugateT는 합성이고

경우 V = R이 N 의 좌표를 기준으로 부여되는 1 , ..., N 의 행렬, 및 경우 T 이 기준에이며 , A는 다음의 adjugate T가 의 adjugate이다 . 이유를 보려면 기본

R n 의 기저 벡터 e i수정합니다 . 이미지의 전자 아래 기본 벡터를 보내는 위치에 따라 결정됩니다.

기저 벡터에서 T( n − 1) st 외부 검정력 은 다음과 같습니다.

이러한 각 용어는 k = i 항을 제외하고 . 따라서 선형 변환입니다.

즉,

역의 적용 T 의 adjugate 가 선형 변환 임을 보여줍니다.

결과적으로 행렬 표현은 A 의 adjugate입니다 .

경우 V는 내적 및 체적 형태로 부여하고, 그지도 φ는 더 분해 될 수있다. 이 경우 φHodge 별 연산자 와 이중화 의 합성물로 이해 될 수 있습니다 . 구체적으로, ω 가 부피 형태 인 경우 내적과 함께 동형을 결정합니다.

이것은 동형을 유도합니다

벡터 VR , N , 선형 기능에 대응

Hodge 별 연산자의 정의에 따라이 선형 함수는 * v와 이중 입니다. 즉, ω ∘ φ는 v ↦ * v 와 같습니다 .

더 높은 adjugates

하자 A는N × N 행렬와 픽스 R ≥ 0 . R 높은 adjugate 번째A가adj r A 로 표시되는 행렬. 항목은 {1, ..., m }의 크기 r 하위 집합 IJ인덱싱됩니다 . 하자 나는 현재 CJ는 c는 의 보완 나타내는 IJ를 각각. 또한 보자인덱스가 각각 I cJ c에 있는 행과 열을 포함하는 A 의 부분 행렬을 나타냅니다 . 그러면 adj r A( I , J ) 항목 은 다음과 같습니다.

여기서 σ ( I )σ ( J )각각 IJ 의 요소의 합입니다 .

더 높은 adjugates의 기본 속성은 다음과 같습니다.

  • ADJ 0 ( ) = DET .
  • ADJ 1 ( ) = ADJ .
  • adj n ( A ) = 1 .
  • adj r ( BA ) = adj r ( A ) adj r ( B ) .
  • , 여기서 C r ( A )r 번째 복합 행렬을 나타냅니다 .

더 높은 adjugates는 일반적인 adjugate와 비슷한 방식으로 추상 대수 용어로 정의 될 수 있습니다. ...에 대한 , 각각.

반복 된 어쥬 게이트

반복적 가역 행렬의 adjugate 복용 유전율 배 수율

예를 들면

또한보십시오

참고 문헌

  1. Gantmacher, FR (1960). 매트릭스 이론 . 1 . 뉴욕 : 첼시. 76–89 쪽. ISBN 0-8218-1376-5.
  2. Claeyssen, JCR (1990). "동적 매트릭스 솔루션을 사용하여 비 보존 적 선형 진동 시스템의 응답 예측". Journal of Sound and Vibration . 140 (1) : 73–84.
  3. Chen, W .; Chen, W .; Chen, YJ (2004). "공진 링 격자 장치를 분석하기위한 특징적인 매트릭스 접근법". IEEE Photonics 기술 서신 . 16 (2) : 458–460.
  4. Strang, Gilbert (1988). "섹션 4.4 : 결정자의 응용". 선형 대수와 그 응용 (3 판). 하 코트 브레이스 요 바노비치. PP. 231-232 . ISBN 0-15-551005-3.
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서지

  • Roger A. Horn과 Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis , Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
  • Roger A. Horn 및 Charles R. Johnson (1991), 매트릭스 분석 주제 . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

외부 링크