아벨 그룹 - Abelian group

에서는 수학 , 아벨 군 또한 불리는 가환 기 , A는 그룹 적용한 결과되는 동작을 두 그룹 요소들이 기록되는 순서에 의존하지 않는다. 즉, 그룹 연산은 교환 적 입니다. 연산으로 덧셈을하면 정수실수는 아벨 그룹을 형성하고 아벨 그룹의 개념은 이러한 예의 일반화로 볼 수 있습니다. 아벨 그룹은 19 세기 초의 수학자 Niels Henrik Abel의 이름을 따서 명명되었습니다 . [1]

아벨 그룹의 개념은 필드 , , 벡터 공간대수 와 같은 많은 기본 대수 구조의 기초가 됩니다. 아벨 그룹의 이론은 일반적으로 벨리 안 그룹의 이론보다 간단 하며 유한 아벨 그룹은 매우 잘 이해되고 완전히 분류 됩니다.

정의

그룹과 같은 구조
총합 α 연관성 정체 가역성 교환 성
반족 체 불필요한 필수 불필요한 불필요한 불필요한
작은 카테고리 불필요한 필수 필수 불필요한 불필요한
Groupoid 불필요한 필수 필수 필수 불필요한
연한 덩어리 필수 불필요한 불필요한 불필요한 불필요한
준 그룹 필수 불필요한 불필요한 필수 불필요한
유니 탈 마그마 필수 불필요한 필수 불필요한 불필요한
고리 필수 불필요한 필수 필수 불필요한
세미 그룹 필수 필수 불필요한 불필요한 불필요한
역 반군 필수 필수 불필요한 필수 불필요한
모노 이드 필수 필수 필수 불필요한 불필요한
교환 모노 이드 필수 필수 필수 불필요한 필수
그룹 필수 필수 필수 필수 불필요한
아벨 그룹 필수 필수 필수 필수 필수
^ α Closure는 많은 출처에서 사용되며, 다르게 정의되었지만 전체성에 대한 동일한 공리입니다.

아벨 그룹은 집합입니다 ., 작업 과 함께 요소 를 결합한 다른 요소를 형성하기 위해 표시 . 상징물구체적으로 주어진 작업에 대한 일반적인 자리 표시 자입니다. 아벨 그룹, 집합 및 작업으로 자격을 얻으려면, 아벨 그룹 공리 로 알려진 5 가지 요구 사항을 충족해야합니다 .

폐쇄
모든 , , 작업 결과 또한 .
연관성
모든 , , 및 , 방정식 보류.
정체성 요소
요소가 있습니다 , 모든 요소에 대해 , 방정식 보류.
역 요소
각각 요소가있다 그런 , 어디 정체성 요소입니다.
교환 성
모든 , , .

그룹 연산이 교환되지 않는 그룹을 "비 벨리 안 그룹"또는 "비 교환 그룹"이라고합니다.

사리

표기법

아벨 그룹에는 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 주요 표기법이 있습니다.

협약 조작 정체
부가 0
곱셈 또는 1

일반적으로 곱셈 표기법은 그룹에 대한 일반적인 표기법이고 덧셈 표기법은 모듈링에 대한 일반적인 표기법입니다 . 덧셈 표기법은 아벨 그룹과 비 벨리 안 그룹이 모두 고려 될 때마다 특정 그룹이 아벨이라는 것을 강조하는 데 사용될 수도 있습니다. 일부 주목할만한 예외는 니어링부분적으로 정렬 된 그룹입니다 . 여기서 연산은 아벨 리안이 아닌 경우에도 추가적으로 작성됩니다. .

곱셈 구구표

유한 그룹 이 아벨 인지 확인하기 위해 Cayley 테이블 이라고하는 테이블 (행렬) 곱셈 테이블 과 유사한 방식으로 구성 할 수 있습니다 . 그룹이언더 작동,이 테이블의- 번째 항목은 제품을 포함합니다..

그룹은이 테이블이 주 대각선에 대해 대칭 인 경우에만 아벨입니다. 그룹이 abelian iff 이기 때문에 이것은 사실입니다. 모든 , 이는 표의 항목은 다음과 같습니다. 모두를위한 항목 즉, 테이블은 주 대각선에 대해 대칭입니다.

  • 를 들어 정수 와 동작 추가 , 표시 , 연산은 + 임의의 두 정수를 결합하여 세 번째 정수를 형성하고, 더하기는 결합 적이며, 0은 가산 적 ID , 모든 정수입니다.갖는 첨가제 역 ,, 덧셈 연산은 두 정수 .
  • 모든 순환 그룹 아벨입니다. , 에있다 , 다음 . 따라서 정수 ,뿐만해야할 또한 아래 가환기를 형성 정수 모듈로, .
  • 모든 은 추가 작업과 관련하여 아벨 그룹입니다. A의 가환 환 가역 요소, 또는 장치는 , 아벨 형성 곱셈기를 . 특히 실수 는 덧셈에서 아벨 그룹이고 0이 아닌 실수는 곱셈에서 아벨 그룹입니다.
  • 아벨 그룹의 모든 하위 그룹은 정상 이므로 각 하위 그룹은 몫 그룹을 생성 합니다. 아벨 그룹의 부분 군, 몫 및 직접 합계 는 다시 아벨입니다. 유한 간단한 아벨 군 정확히의 순환 그룹입니다 주요 순서 . [2]
  • 아벨 그룹의 개념과 - 모듈이 동의합니다. 더 구체적으로 말하면-module은 덧셈 연산이있는 아벨 그룹이고 모든 아벨 그룹은 정수 링 위의 모듈입니다. 독특한 방식으로.

일반적으로 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 적이 지 않기 때문에 행렬 , 심지어 역행렬도 곱셈에서 아벨 그룹을 형성하지 않습니다. 그러나 일부 행렬 그룹은 행렬 곱셈에서 아벨 그룹입니다. 한 가지 예는 회전 행렬 .

역사적 발언

Camille Jordan노르웨이 수학자 Niels Henrik Abel의 이름을 따서 abelian 그룹을 명명했습니다. Abel은 다항식 그룹의 commutativity가 근호를 사용하여 다항식 의 근을 계산할 수 있음을 의미한다는 것을 발견했기 때문 입니다. [3] : 144–145

속성

만약 A는 자연수 아벨 그룹의 요소 추가로 작성하면 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. ( summands) 및 . 이런 식으로, 위의 모듈 이됩니다. 정수 사실, 모듈은 아벨 그룹으로 식별 할 수 있습니다.

아벨 그룹에 대한 정리 (즉 , 주요 이상적인 영역에 대한 모듈 )는 임의의 주된 이상적인 도메인에 대한 모듈에 대한 정리로 일반화 될 수 있습니다. 전형적인 예는 유한 적으로 생성 된 아벨 그룹 의 분류인데, 이는 주요 이상 영역에 대해 유한하게 생성 된 모듈에 대한 구조 정리 의 전문화입니다 . 유한하게 생성 된 아벨 그룹의 경우이 정리는 아벨 그룹 비틀림 그룹자유 아벨 그룹직접 합 으로 분할된다는 것을 보장합니다 . 전자는 유한 한 많은 형태의 그룹의 직접 합으로 작성 될 수 있습니다. ...에 대한 소수이며 후자는 유한하게 많은 사본의 직접 합입니다. .

만약 아벨 그룹 사이의 그룹 동형 , 그리고 그 합계, 정의 , 다시 동형입니다. (이 경우는 사실이 아닙니다. 비 벨리 안 그룹입니다.) 모든 그룹 동형의 ...에 그러므로 그 자체로 아벨 그룹입니다.

받는 다소 유사한 차원벡터 공간 마다 아벨 군이 갖는 랭크 . 이는 그룹 선형 독립 (정수에 걸쳐) 요소 세트의 최대 카디널리티 로 정의됩니다 . [4] : 49–50 유한 아벨 그룹과 비틀림 그룹은 순위가 0이고 순위가 0 인 모든 아벨 그룹은 비틀림 그룹입니다. 정수와 유리수의 순위는 1 위 이며, 합리적 요소의 0이 아닌 모든 덧셈 부분 군 이 있습니다. 반면에 0이 아닌 합리적 곱셈 그룹 은 무한한 순위를가집니다.기초로서의 소수 (이는 산술기본 정리 에서 기인 함 ).

센터 그룹의 모든 요소와 통근하는 요소 집합입니다. . 그룹 중심과 같은 경우에만 아벨입니다. . 그룹의 중심항상 특징적인 아벨 하위 그룹입니다.. 몫 그룹이 중심에 의한 그룹의 순환은 다음 아벨입니다. [5]

유한 아벨 그룹

모듈로 정수의 순환 그룹, , 그룹의 첫 번째 예 중 하나입니다. 임의의 유한 아벨 그룹은 소수 거듭 제곱의 유한 순환 그룹의 직접 합과 동형이며 이러한 차수는 고유하게 결정되어 완전한 불변 시스템을 형성합니다. 유한 아벨 그룹 automorphism 그룹 은 이러한 불변의 관점에서 직접 설명 할 수 있습니다. 이 이론은 Georg FrobeniusLudwig Stickelberger 의 1879 년 논문에서 처음 개발되었으며 나중에는 선형 대수 의 중요한 장을 형성하는 주요 이상적인 영역에 대해 유한하게 생성 된 모듈로 단순화되고 일반화되었습니다 .

모든 소수 그룹은 순환 그룹과 동형이므로 아벨입니다. 순서가 소수의 제곱 인 그룹도 아벨입니다. [6] 에서의 사실마다 소수 (동형까지) 정확히 두 그룹의 순서가 있습니다. .

분류

유한 아벨 그룹기본 정리는 모든 유한 아벨 그룹이프라임 파워 오더 의 순환 하위 그룹의 직접 합으로 표현할 수 있습니다 . 유한 아벨 그룹에 대한 기본 정리 로도 알려져 있습니다 . [7] 이것은 유한하게 생성 된 아벨 그룹기본 정리에 의해 일반화되며, 유한 그룹은 G의 순위 가 0 일 때 특별한 경우입니다 . 이것은 차례로 수많은 추가 일반화를 인정합니다.

이 분류는 1870 년 Leopold Kronecker의해 입증 되었지만, 나중에까지 현대 그룹 이론 용어로 언급되지 않았고 1801 년 Carl Friedrich Gauss의해 유사한 2 차 형태 분류가 선행되었습니다 . 자세한 내용은 역사 를 참조하십시오.

순환 그룹 주문 직접 합에 동형 경우에만 이다 서로 소 . 유한 아벨 그룹은 형식의 직접 합에 동형

다음 표준 방법 중 하나로 :

  • 숫자들 (반드시 구별되지는 않음) 소수의 거듭 제곱입니다.
  • 또는 분할 , 나누는 , 등등 .

예를 들면 순서 3과 5의 두 순환 하위 그룹의 직접 합으로 표현할 수 있습니다. . 마찬가지 순서 (15)의 모든 아벨 군 있다는 놀라운 결론을 이끌어 위해 15 중 아벨 군에 대해 말할 수있다 동형 .

다른 예를 들어, 차수가 8 인 모든 아벨 그룹은 다음 중 하나에 동형입니다. (모듈로 8 덧셈에서 0에서 7까지의 정수), (모듈로 16의 곱셈에서 홀수 1에서 15까지) 또는 .

순서가 30 이하인 유한 아벨 그룹에 대한 소그룹 목록 도 참조하십시오 .

자가 형성

기본 정리적용하여 주어진 유한 아벨 그룹 자동 형태 를 계산 (때로는 결정) 할 수 있습니다.. 이를 위해 다음과 같은 사실을 사용합니다. 직접 합계로 분할 프라임 순서 의 하위 그룹의.

이것을 감안할 때, 기본 정리는 automorphism 그룹을 계산하기 위해 Sylow 의 automorphism 그룹을 계산하는 것으로 충분합니다. -부분 군을 개별적으로 (즉, 순환 부분 군의 모든 직접 합계, ). 프라임 수정 그리고 지수가 Sylow의 주기적 요인의 -하위 그룹은 오름차순으로 정렬됩니다.

일부 . 하나의 automorphisms를 찾아야합니다

특별한 경우는 , 따라서 Sylow에는 순환 소수 역률이 하나만 있습니다. -하급 집단 . 이 경우 유한 순환 그룹 의 자동 형태 이론을 사용할 수 있습니다. 또 다른 특별한 경우는 임의적이지만 ...에 대한 . 여기, 하나는 고려하고 있습니다 형태로

따라서이 하위 그룹의 요소는 차원의 벡터 공간을 구성하는 것으로 볼 수 있습니다. 유한 필드 위에 집단 . 따라서이 하위 그룹의 자동 형태는 역 선형 변환에 의해 주어집니다.

어디 적절한 일반 선형 그룹 입니다. 이것은 쉽게 주문이 표시됩니다

가장 일반적인 경우, 임의적이면 automorphism 그룹을 결정하기가 더 어렵습니다. 그러나 하나가 정의하면

다음 사람은 특히 , , 및

이것이 이전 예의 주문을 특별한 경우로 산출하는지 확인할 수 있습니다 (Hillar, C., & Rhea, D. 참조).

유한하게 생성 된 아벨 그룹

아벨 그룹 A 는 유한 요소 집합 ( 생성자 라고 함 )을 포함하는 경우 유한하게 생성됩니다.그룹의 모든 요소가 G 요소의 정수 계수와 선형 조합이 되도록합니다 .

L 을 기초 가있는 자유 아벨 그룹 으로 하자고유 한 그룹 동형이 있습니다. 그런

이 동형은 추측 적 이며 커널 은 유한하게 생성됩니다 (정수는 Noetherian 고리를 형성하기 때문에 ). j 번째 열의 항목 이 커널 j 번째 생성자의 계수가되도록 정수 항목이 있는 행렬 M고려하십시오 . 그러면 아벨 그룹은 M으로 정의 된 선형 맵 의 코 커널동형이됩니다 . 반대로 모든 정수 행렬 은 유한하게 생성 된 아벨 그룹을 정의합니다.

유한하게 생성 된 아벨 그룹에 대한 연구는 정수 행렬의 연구와 완전히 동일합니다. 특히 A 의 생성 집합을 변경하는 것은 왼쪽의 M단일 모듈 행렬 (즉, 역이 정수 행렬 인 역정 수 행렬) 을 곱하는 것과 동일 합니다. M 커널의 생성 집합을 변경하는 것은 오른쪽의 M 에 단일 모듈 행렬 을 곱하는 것과 같습니다 .

스미스 정규형M은 매트릭스 인

여기서 UV 는 단일 모듈이고 S 는 모든 비 대각선 항목이 0이되는 행렬이고 0이 아닌 대각선 항목 are the first ones, and is a divisor of for i > j. The existence and the shape of the Smith normal proves that the finitely generated abelian group A is the direct sum

where r is the number of zero rows at the bottom of r (and also the rank of the group). This is the fundamental theorem of finitely generated abelian groups.

The existence of algorithms for Smith normal form shows that the fundamental theorem of finitely generated abelian groups is not only a theorem of abstract existence, but provides a way for computing expression of finitely generated abelian groups as direct sums.

Infinite abelian groups

가장 단순한 무한 아벨 그룹은 무한 순환 그룹입니다 . 모든 유한 생성 아벨 군 직접 합에 동형 사본 및 유한 아벨 그룹, 이는 차례로 유한 많은 주기적 그룹주요 전력 차수 의 직접 합으로 분해 될 수 있습니다. 분해가 고유하지 않더라도 숫자는호출 된 순위, 유한 순환 합계의 순서를 제공하는 소수 거듭 제곱은 고유하게 결정됩니다.

대조적으로, 무한하게 생성 된 일반 아벨 그룹의 분류는 완전하지 않습니다. 나눌 수있는 그룹 , 즉 아벨 그룹 어느 방정식 해결책을 인정하다 모든 자연수 및 요소 , constitute one important class of infinite abelian groups that can be completely characterized. Every divisible group is isomorphic to a direct sum, with summands isomorphic to and Prüfer groups for various prime numbers , and the cardinality of the set of summands of each type is uniquely determined.[8] Moreover, if a divisible group is a subgroup of an abelian group then admits a direct complement: a subgroup of such that . Thus divisible groups are injective modules in the category of abelian groups, and conversely, every injective abelian group is divisible (Baer's criterion). An abelian group without non-zero divisible subgroups is called reduced.

정반대 특성을 가진 무한 아벨 그룹의 두 가지 중요한 특수 클래스는 그룹 으로 예시 된 비틀림 그룹비틀림없는 그룹입니다. (주기적) 및 (비틀림 없음).

비틀림 그룹

모든 요소가 유한 한 순서 를 갖는 경우 아벨 그룹을 주기적 또는 비틀림 이라고 합니다. 유한 순환 그룹의 직접 합계는 주기적입니다. converse 문은 일반적으로 사실이 아니지만 몇 가지 특별한 경우가 알려져 있습니다. 첫 번째와 두 번째 Prüfer 정리주기적 그룹이며 제한된 지수를가집니다 . 즉, 자연수를 위해 , 또는 셀 수 있고 - 요소의 높이 각각에 대해 유한하다 , 다음 유한 고리 그룹의 직접 합에 동형입니다. [9] 일련의 직접 합계의 카디널리티는 그러한 분해에서 불변 . [10] : 6 이러한 정리는 나중에 Kulikov 기준에 포함되었습니다 . 다른 방향으로, Helmut Ulm 은 두 번째 Prüfer 정리를 셀 수있는 아벨로 확장 한 것을 발견했습니다.-무한 높이의 요소를 가진 그룹 : 이러한 그룹은 Ulm 불변 을 통해 완전히 분류됩니다 .

비틀림없는 혼합 그룹

An abelian group is called torsion-free if every non-zero element has infinite order. Several classes of torsion-free abelian groups have been studied extensively:

An abelian group that is neither periodic nor torsion-free is called mixed. If is an abelian group and is its torsion subgroup, then the factor group is torsion-free. However, in general the torsion subgroup is not a direct summand of , so is not isomorphic to . Thus the theory of mixed groups involves more than simply combining the results about periodic and torsion-free groups. The additive group of integers is torsion-free -module.[11]:206

Invariants and classification

One of the most basic invariants of an infinite abelian group is its rank: the cardinality of the maximal linearly independent subset of . Abelian groups of rank 0 are precisely the periodic groups, while torsion-free abelian groups of rank 1 are necessarily subgroups of and can be completely described. More generally, a torsion-free abelian group of finite rank is a subgroup of . On the other hand, the group of -adic integers is a torsion-free abelian group of infinite -rank and the groups 다른 비 동형이므로이 불변성은 일부 익숙한 그룹의 속성도 완전히 포착하지 못합니다.

The classification theorems for finitely generated, divisible, countable periodic, and rank 1 torsion-free abelian groups explained above were all obtained before 1950 and form a foundation of the classification of more general infinite abelian groups. Important technical tools used in classification of infinite abelian groups are pure and basic subgroups. Introduction of various invariants of torsion-free abelian groups has been one avenue of further progress. See the books by Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, and David Arnold, as well as the proceedings of the conferences on Abelian Group Theory published in Lecture Notes in Mathematics for more recent findings.

Additive groups of rings

The additive group of a ring is an abelian group, but not all abelian groups are additive groups of rings (with nontrivial multiplication). Some important topics in this area of study are:

  • Tensor product
  • Corner's results on countable torsion-free groups
  • Shelah's work to remove cardinality restrictions.

Relation to other mathematical topics

Many large abelian groups possess a natural topology, which turns them into topological groups.

The collection of all abelian groups, together with the homomorphisms between them, forms the category , the prototype of an abelian category.

Wanda Szmielew (1955) proved that the first-order theory of abelian groups, unlike its non-abelian counterpart, is decidable. Most algebraic structures other than Boolean algebras are undecidable.

There are still many areas of current research:

  • Amongst torsion-free abelian groups of finite rank, only the finitely generated case and the rank 1 case are well understood;
  • There are many unsolved problems in the theory of infinite-rank torsion-free abelian groups;
  • While countable torsion abelian groups are well understood through simple presentations and Ulm invariants, the case of countable mixed groups is much less mature.
  • Many mild extensions of the first-order theory of abelian groups are known to be undecidable.
  • Finite abelian groups remain a topic of research in computational group theory.

Moreover, abelian groups of infinite order lead, quite surprisingly, to deep questions about the set theory commonly assumed to underlie all of mathematics. Take the Whitehead problem: are all Whitehead groups of infinite order also free abelian groups? In the 1970s, Saharon Shelah proved that the Whitehead problem is:

A note on the typography

Among mathematical adjectives derived from the proper name of a mathematician, the word "abelian" is rare in that it is often spelled with a lowercase a, rather than an uppercase A, indicating how ubiquitous the concept is in modern mathematics.[12]

See also

Notes

  1. ^ Jacobson 2009, p. 41
  2. ^ Rose 2012, p. 32.
  3. ^ Cox, D. A., Galois Theory (Hoboken: John Wiley & Sons, 2004), pp. 144–145.
  4. ^ Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality (Milton Park, Abingdon-on-Thames & Oxfordshire: Taylor & Francis, 2020), pp. 49–50.
  5. ^ Rose 2012, p. 48.
  6. ^ Rose 2012, p. 79.
  7. ^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54.
  8. ^ For example, .
  9. ^ Countability assumption in the second Prüfer theorem cannot be removed: the torsion subgroup of the direct product of the cyclic groups for all natural is not a direct sum of cyclic groups.
  10. ^ Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: American Mathematical Society, 2004), p. 6.
  11. ^ Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.
  12. ^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Archived from the original on 31 December 2012. Retrieved 3 July 2016.

References

External links