68–95–99.7 규칙 - 68–95–99.7 rule

에서는 통계 는 68-95-99.7 규칙 일컬어, 경험칙은 , 값들의 비율을 기억하기 위해 사용되는 축약임을 주위 대역 내에있는 평균 A의 정규 분포 두 4-6의 폭 표준 편차 , 각각; 보다 정확하게는 68.27 %, 95.45 % 및 99.73 %의 값이 각각 평균의 1, 2 및 3 표준 편차 내에 있습니다.

수학적 표기법에서 이러한 사실은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 Χ 는 정규 분포 된 랜덤 변수 의 관측치 이고 μ 는 분포의 평균이며 σ 는 표준 편차입니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 0.6827\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.9545\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.9973\end{aligned}}}$

에서 실험 과학 소위 손가락의 3 시그마 규칙은 종래의 표현 휴리스틱 거의 모든 값 평균 세 표준 편차 내에있는으로 이동되도록, 그리고 따라서, 99.7 %의 치료 경험적 유용 확률 근처 확실성. ^[1] 이 휴리스틱의 유용성은 특히 고려중인 질문에 따라 다릅니다. 에서 사회학 , 결과가 "로 간주 될 수있다 상당한 그 경우" 신뢰 레벨 에있는 동안, 두 시그마 효과 (95 %)의 순서 인 입자 물리, 발견의 자격을 갖추기 위해 5 시그마 효과 (99.99994 % 신뢰도)가 요구되는 규칙이 있습니다.

더 약한 3- 시그마 규칙은 Chebyshev의 부등식 에서 파생 될 수 있으며 , 이는 비정규 분포 변수의 경우에도 최소 88.8 %의 케이스가 적절하게 계산 된 3- 시그마 구간 내에 속해야합니다. 들어 단봉 분포 , 구간 내에 존재 확률은에 의하여 적어도 95 %이다 Vysochanskij-Petunin 불평등 . 이 확률이 98 % 이상이되도록하는 분포에 대한 특정 가정이있을 수 있습니다. ^[2]

누적 분포 함수

이러한 수치 "68 %, 95 %, 99.7 %" 는 정규 분포 의 누적 분포 함수 에서 나옵니다 .

모든 표준 점수 z에 대한 예측 구간은 숫자 적으로 (1− (1− Φ _{μ , σ ²} (z)) · 2)에 해당합니다.

예를 들어 Φ (2) ≈ 0.9772 또는 Pr ( X ≤ μ + 2 σ ) ≈ 0.9772 , (1 − (1 − 0.97725) · 2) = 0.9545 = 95.45 %의 예측 구간에 해당합니다. 이것은 대칭 구간이 아닙니다. 이것은 단지 관측치가 μ + 2 σ 보다 작을 확률 일뿐 입니다. 관측치가 평균의 두 표준 편차 내에있을 확률을 계산하려면 (반올림으로 인한 작은 차이) :

${\displaystyle \Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545}$

이것은 통계에서 사용되는 신뢰 구간 과 관련이 있습니다 .${\displaystyle {\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$ 다음과 같은 경우 약 95 % 신뢰 구간입니다. ${\displaystyle {\bar {X}}}$ 크기 표본의 평균입니다. ${\displaystyle n}$.

정규성 테스트

"68–95–99.7 규칙"은 모집단이 정상이라고 가정하는 경우 표준 편차가 주어지면 어떤 것의 대략적인 확률 추정치를 빠르게 얻는 데 자주 사용됩니다. 모집단이 정상이라고 가정하면 특이 치에 대한 단순 검정으로 사용되며 모집단이 잠재적으로 정상이 아닌 경우 정규성 검정으로도 사용 됩니다.

표준 편차의 숫자, 하나의 제 계산하는에 샘플에서 전달하려면 편차 는 중 오류 또는 잔류 하나가 인구의 평균을 알거나 만 추정 여부에 따라. 다음 단계는 모집단 모수가 알려진 경우 표준화 (모집단 표준 편차로 나누기) 또는 모수를 알 수없고 추정 된 경우에만 학생 화 (표준 편차 추정값으로 나누기)입니다.

특이 치 또는 정규성 검정에 대한 검정으로 사용하려면 표준 편차 측면에서 편차 크기를 계산하고이를 예상 빈도와 비교합니다. 표본 집합이 주어지면 학생 화 잔차를 계산하고 이를 예상 빈도와 비교할 수 있습니다 . 표준 편차가 3 개 이상인 점은 특이 치일 가능성이 높습니다 ( 표본 크기 가 상당히 크지 않는 한 ,이 지점에서 표본이 예상됩니다. 극단), 그리고 표준에서 3 표준 편차 이상의 점이 많은 경우 가정 된 분포의 정규성에 의문을 제기 할 이유가있을 수 있습니다. 이것은 4 개 이상의 표준 편차 이동에 대해 더욱 강력하게 유지됩니다.

포아송 분포에 의해 주어진 크기 이상의 극단적 인 움직임의 수를 근사화하여 더 정확하게 계산할 수 있지만, 단순히 크기가 1,000 인 표본에 4 개의 표준 편차 움직임이 여러 개있는 경우 이러한 특이 치를 고려할 강력한 이유가 있거나 분포의 가정 된 정규성에 의문을 제기하십시오.

예를 들어, 6 개 σ 이 약의 기회로 이벤트에 대응 억 당 부분 . 예를 들어, 이벤트가 매일 발생한다고 가정하면 이는 140 만년마다 예상되는 이벤트에 해당합니다. 이것은 간단한 정규성 테스트를 제공합니다 . 일일 데이터에서 6σ 를 목격하고 1 백만년 미만이 경과 한 경우 정규 분포는이 점에서 큰 편차의 크기 또는 빈도에 대한 좋은 모델을 제공하지 않을 가능성이 높습니다.

에서 검은 백조 , 나심 니콜라스 탈 레브는 따라되는 위험 모델의 예를 제공합니다 블랙 월요일 충돌이 36-에 해당하는 것입니다 σ의 이벤트 : 이러한 이벤트의 발생 즉시 즉, 모델이 결함이 있음을 시사한다 그 과정에서 고려는 정규 분포에 의해 만족스럽게 모델링되지 않습니다. 그런 다음, 예를 들어 확률 적 변동성 의 도입을 통해 정제 된 모델을 고려해야 합니다. 그러한 논의에서 도박꾼의 오류 에 대한 문제를 인식하는 것이 중요합니다 . 이는 희귀 사건에 대한 단일 관찰이 사건이 실제로 드물다는 것과 모순되지 않는다는 것을 말합니다. ^{[ 인용 필요 ]}. 드물다 는 가설 , 즉 가정 된 모델의 타당성 을 점차 약화시키는 것은 여러 가지 희귀 사건에 대한 관찰입니다 . 가설에서 점진적으로 신뢰를 잃는 과정에 대한 적절한 모델링은 가설 자체뿐만 아니라 가능한 모든 대체 가설에 대한 사전 확률 지정을 포함합니다 . 이러한 이유로 통계 가설 검정 은 가능성이 있다고 간주되는 가설을 확인하는 것이 아니라 가능성이 없다고 간주 되는 가설 을 반박하는 방식으로 작동합니다 .

수치 표

정규 분포의 지수 꼬리 때문에 더 높은 편차의 확률은 매우 빠르게 감소합니다. 로부터 일반적으로 분산 된 데이터에 대한 규칙 은 매일 이벤트 :

범위	범위 내 인구의 예상 비율	범위를 벗어난 대략적인 예상 주파수				일일 이벤트의 대략적인 빈도
μ ± 0.5σ	0.382 924 922 548 026		3 인치	5		일주일에 4 ~ 5 회
μ ± σ	0.682 689 492 137 086		1 인치	삼		일주일에 두번
μ ± 1.5σ	0.866 385 597 462 284		1 인치	7		주간
μ ± 2σ	0.954 499 736 103 642		1 인치	22		3 주마다
μ ± 2.5σ	0.987 580 669 348 448		1 인치	81		계간지
μ ± 3σ	0.997 300 203 936 740		1 인치	370		매년
μ ± 3.5σ	0.999 534 741 841 929		1 인치	2149		6 년마다
μ ± 4σ	0.999 936 657 516 334		1 인치	(15) 787		43 년마다 (일생에 두 번)
μ ± 4.5σ	0.999 993 204 653 751		1 인치	147 160		403 년마다 (현대에 한 번)
μ ± 5σ	0.999 999 426 696 856		1 인치	1 744 278		마다 4776 년 (기록 된 역사에 한 번)
μ ± 5.5σ	0.999 999 962 020 875		1 인치	26 330 254		마다 (72) 090 세 (의 역사에서 세 번 현대 인류 )
μ ± 6σ	0.999 999 998 026 825		1 인치	506 797 346		138 만년마다 ( 인류 사상 2 배 )
μ ± 6.5σ	0.999 999 999 919 680		1 인치	12 450 197 393		3,400 만년마다 ( 공룡 멸종 이래 2 배 )
μ ± 7σ	0.999 999 999 997 440		1 인치	390 682 215 445		10 억 7 천만 년마다 ( 지구 역사상 4 번 발생 )
μ ± x σ	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$		1 인치	${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$		마다 ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}}}$ 일

또한보십시오

• p 값
• 식스 시그마 # 시그마 레벨
• 표준 점수
• t- 통계

참고 문헌

외부 링크

• " 정규 분포 Balasubramanian에 Narasimhan에 의해"
• " WolframAlpha 에서 x 시그마 내 백분율 비율 계산