3D 투영 - 3D projection

일부 3D 투영의 분류

3D 프로젝션 (또는 그래픽 돌기 )를 인 설계 기술 하는 2 차원 표면에 3 차원 객체를 표시하기 위해 사용. 이러한 투영은 단순한 평면에서보기 기능을 위해 복잡한 개체 투영 하기 위해 시각적 관점 및 측면 분석에 의존합니다 .

3D 프로젝션 은 개체의 기본 모양의 주요 특성사용하여 점의 맵을 만든 다음 서로 연결되어 시각적 요소를 만듭니다. 그 결과 그림이나 이미지가 실제로 평면 (2D)이 아니라 2D 디스플레이에서 보이는 솔리드 객체 (3D)임을 해석하는 개념적 속성이 포함 된 그래픽이 생성됩니다.

3D 개체는 주로 2 차원 매체 (예 : 종이 및 컴퓨터 모니터)에 표시됩니다. 따라서 그래픽 투영은 일반적으로 사용되는 디자인 요소입니다. 특히 엔지니어링 도면 , 제도컴퓨터 그래픽에서 . 투영은 수학적 분석 및 공식을 사용하거나 다양한 기하학적 및 광학 기술을 사용하여 계산할 수 있습니다.

개요

여러 유형의 그래픽 투영 비교
다양한 예측 및 생산 방법

투영은 가상의 "프로젝터"를 사용하여 이루어집니다. 투영 된 정신적 이미지는 원하는 완성 된 그림에 대한 기술자의 비전이됩니다. [ 추가 설명 필요 ] 방법은 기술 그래픽 (기계적 도면, 컴퓨터 지원 설계 등) 교육을받은 사람들 사이에서 균일 한 이미징 절차를 제공합니다. 방법에 따라 기술자는 그림 용지와 같은 평평한 표면에 상상 한 그림을 만들 수 있습니다.

각각 고유 한 방법이있는 두 가지 그래픽 투영 범주가 있습니다.

평행 투영

평행 투영은 가상의 관점에서 투시 투영에 해당합니다. 즉, 카메라가 물체에서 무한 거리에 있고 무한 초점 거리 또는 "줌"을 갖는 곳입니다.

평행 투영에서는 물체에서 투영 평면 까지의 시선 이 서로 평행합니다. 따라서 3 차원 공간에서 평행 한 선은 2 차원 투사 이미지에서 평행하게 유지됩니다. 평행 투영은 또한 무한 초점 거리 (카메라 렌즈초점 과의 거리 ) 또는 " " 을 가진 원근 투영에 해당합니다 .

평행 투영에 그려진 이미지 기법에 의존 axonometry 에 기재된 바와 같이 ( "축을 따라 측정하는") Pohlke 정리 . 일반적으로 결과 이미지는 비스듬합니다 (광선이 이미지 평면에 수직이 아닙니다). 그러나 특별한 경우 결과는 직교 (광선이 이미지 평면에 수직 임)입니다. Axonometryaxonometric 투영 과 혼동되어서는 안됩니다. 영문학에서 후자는 일반적으로 특정 클래스의 그림 만 언급하기 때문입니다 (아래 참조).

직교 투영

직교 투영은 설명 기하학 의 원리에서 파생되며 3 차원 물체의 2 차원 표현입니다. 이것은 평행 투영입니다 (투영선은 현실과 투영 평면 모두에서 평행합니다). 작업 도면을 위한 투영 유형입니다 .

보기 평면의 법선 (카메라 방향)이 기본 축 ( x , y 또는 z 축) 중 하나에 평행 인 경우 수학적 변환은 다음과 같습니다. 3D 점을 투영하려면, , 2D 점에 , y 축에 평행 한 직교 투영을 사용하면 (양의 y 는 정방향-프로필보기를 나타냄) 다음 방정식을 사용할 수 있습니다.

여기서 벡터 s 는 임의의 축척 계수이고 c 는 임의의 오프셋입니다. 이러한 상수는 선택 사항이며 뷰포트를 올바르게 정렬하는 데 사용할 수 있습니다. 행렬 곱셈을 사용 하면 방정식은 다음과 같습니다.

정사영으로 투영 된 이미지는 투영 된 물체의 3 차원 적 특성을 나타내지 만 사진으로 기록되거나 관찰자가 직접 관찰하는 것처럼 물체를 표현하지는 않습니다. 특히, 직교 투영 이미지의 모든 지점에서 평행 한 길이는 가상 뷰어에서 멀리 있든 가까이 있든 상관없이 동일한 크기입니다. 결과적으로 길이는 원근 투영 에서처럼 단축되지 않습니다.

멀티 뷰 투영

다중 뷰 투영이 세 번째 각도 (오른쪽)인지 첫 번째 각도 (왼쪽)인지 정의하는 데 사용되는 기호입니다.

다중 뷰 투영을 사용하면 각 투영 평면이 객체의 좌표 축 중 하나에 평행 한 객체의 최대 6 개의 사진 ( 기본 뷰 라고 함 )이 생성됩니다. 뷰는 첫 번째 각도 또는 세 번째 각도 투영 의 두 가지 방식 중 하나에 따라 서로에 대해 상대적으로 배치 됩니다. 각각에서 뷰의 모양은 객체 주위에 6면 상자를 형성하는 평면 투영 되는 것으로 생각할 수 있습니다 . 6 개의 다른면을 그릴 수 있지만 일반적으로 3 개의 드로잉 뷰는 3D 개체를 만들기에 충분한 정보를 제공합니다. 이러한보기를 전면보기 , 상단보기끝보기라고합니다.. 고도 , 평면도단면 이라는 용어 도 사용됩니다.

축 방향 투영

세 가지 축측 투영 뷰

직교 투영에는 직교 그림 또는 축색 투영 이라고하는 보조 범주가 있습니다 . Axonometric 투영은 한 그림에서 공간의 세 방향 (축)을 모두 나타 내기 위해 기울어 진 방향에서 바라본 물체의 이미지를 보여줍니다. [1] Axonometric 도구 도면은 그래픽 투시 투영을 근사화하는 데 자주 사용되지만 근사치에 수반되는 왜곡이 있습니다. 그림 투영은 본질적으로 이러한 왜곡을 포함하기 때문에 그림의 도구 그림에서 노력의 경제와 최상의 효과를 위해 큰 자유를 취할 수 있습니다. [ 설명 필요 ]

축측 투영은 : 상기 세 가지 카테고리로 나누어진다 등각 투영 , dimetric 투영 하고 도법 투영 뷰 직교 일탈되는 정확한 각도에 따라. [2] [3] 직교 그림의 전형적인 특징은 공간의 한 축이 일반적으로 수직으로 표시된다는 것입니다.

부등 돌기 때때로라고도 보조 뷰 받는 반대로 기본 뷰멀티 뷰 돌기 .

등각 투영

에서는 아이소 화보 (방법을 참조 등각 투영을 , 볼의 방향은 공간의 세 축 동등 짧아지지 표시하도록하고, 그들 사이에 120 °의 각도 공통있다). 단축 법 으로 인한 왜곡 은 균일하므로 모든면과 길이의 비례가 유지되고 축은 공통 축척을 공유합니다. 이를 통해 도면에서 직접 측정 값을 읽거나 가져올 수 있습니다.

치수 투영

에서는 dimetric 화보 (방법을 참조 Dimetric 돌기 ), 시야의 방향이 공간의 3 개의 축 둘이 동일있는 부수적 인 스케일 및 프레젠테이션의 각이 보는 각도에 따라 결정되며, 짧아지지 나타나는되도록이고; 세 번째 방향 (수직)의 배율은 별도로 결정됩니다. 근사치는 치수 도면에서 일반적입니다.

삼각 투영

에서는 도법 화보 (방법을 참조 도법 돌기 , 시야의 방향이 공간의 세 축 모두 골고루 짧아지지 않도록 나타날 것이다). 세 축 각각에 따른 축척과 그 사이의 각도는 시야각에 따라 별도로 결정됩니다. 트라이 메트릭 도면의 근사치는 일반적입니다.

경사 투영

45 ° 각도와 2/3 비율로 캐비닛 돌출부에 그려진 포팅 벤치
군사 관점 에서 그려진 돌 아치

에서는 경사 돌기 평행 투영 광선 직교 투영과 같은 관찰 평면에 수직하지 않지만 90도 이외의 각도로 투영면을 찍는. 직교 및 경사 투영 모두에서 공간의 평행선이 투영 된 이미지에 평행하게 나타납니다. 단순성 때문에 경사 투영 은 공식적인 작업 도면보다는 그림 용도로만 사용됩니다. 비스듬한 그림 그림에서에서 축 사이에 표시된 각도와 단축 계수 (스케일)는 임의적입니다. 그에 따라 생성 된 왜곡은 일반적으로 이미지 대상 물체의 한 평면을 투영 평면과 평행하게 정렬함으로써 감쇠되어 선택한 평면의 실제 모양, 전체 크기 이미지를 생성합니다. 특수 유형의 경사 투영은 다음과 같습니다.

무심한 투영 (45 °)

에서 무심 돌기 (때로는 무심 관점 또는 높은 관점 ) 객체의 포인트는 세 좌표로 표시되는 X , YZ . 도면에서는 x ″y ″ 두 개의 좌표로만 표시됩니다 . 평면 도면 에서 그림의 xz 두 축은 수직 이며이 축의 길이는 1 : 1 배율로 그려집니다. 그것은에 따라서 유사하다 dimetric 돌기 그것이 아니지만 축측 투영 세번째 축으로하여, 여기서, Y, 대각선으로 그려져 x "과 임의의 각도 ( 보통 30 또는 45 °)를 만듭니다. 세 번째 축의 길이는 조정되지 않습니다.

캐비닛 투영

캐비닛 투영 (때때로 캐비닛 투시 ) 이라는 용어 는 가구 산업의 일러스트레이션에서 사용 된 것에서 비롯됩니다. [ 인용 필요가 ] 추천 무심 관점 투사 객체의 일면을 보는면에 평행이며, 세번째 축 각도에서 벗어난 것 같이 투영된다 (전형적으로 30 ° 또는 45 ° 또는 아크 탄젠트 (2) = 63.4 °). 세 번째 축이 길이를 유지하는 무심한 투영과 달리 캐비닛 투영을 사용하면 후퇴 선의 길이가 반으로 절단됩니다.

군사 투영

경사 투영 의 변형을 군사 투영 이라고 합니다. 이 경우 수평 단면이 등각 투영으로 그려 지므로 평면도가 왜곡되지 않고 수직이 비스듬하게 그려집니다. 군사 투영은 xy- 평면의 회전 z 의 수직 변환으로 제공 됩니다. [4]

병렬 투영의 한계

등각 투영의 한계의 예. 빨간색과 파란색 공의 높이 차이는 로컬에서 확인할 수 없습니다.
펜로즈의 계단 승천 (시계 반대 방향) 또는이 하강 (시계 방향)으로 보인다 아직 연속 루프를 형성하는 계단을 나타낸다.

평행 투영으로 그린 ​​개체는 뷰어에 가까워 지거나 멀어 질 때 더 크거나 작게 나타나지 않습니다. 이미지에서 직접 측정해야하는 건축 도면 에는 유리하지만 그 결과는 왜곡이 감지됩니다. 왜냐하면 투시 투영 과 달리 이것은 우리의 눈이나 사진이 일반적으로 작동하는 방식이 아니기 때문입니다. 또한 오른쪽 그림과 같이 깊이와 고도를 측정하기 어려운 상황에서도 쉽게 발생할 수 있습니다.

이 등각 투영 도면에서 파란색 구는 빨간색 구보다 두 단위 더 높습니다. 그러나 상자 (높이를 암시하는 단서 역할을 함)가 가려지기 때문에 그림의 오른쪽 절반을 덮는 경우 이러한 고도 차이는 분명하지 않습니다.

이러한 시각적 모호함은 "불가능한 물체"그림뿐만 아니라 op art 에서 악용되었습니다 . MC Escher폭포 (1961)는 평행 투영법을 엄격하게 사용하지는 않지만 잘 알려진 예입니다. 물의 통로가 도움없이 하향 경로를 따라 이동 한 다음 다시 역설적으로 떨어집니다. 출처. 따라서 물 은 에너지 보존 법칙을 위반하는 것으로 보입니다 . 극단적 인 예가 영화 Inception에 묘사되어 있는데, 강제적 인 원근법에 의해 움직이지 않는 계단이 연결성을 변경합니다.

투시 투영

두 개의 소실점을 사용하는 기하학적 솔리드의 원근. 이 경우 솔리드 (직교 투영)의 맵이 마치지면을 구부리는 것처럼 원근 아래에 그려집니다.
수직 그림 평면 원근 의 관련 요소를 표시하는 구성표의 축각 투영법 . 스탠딩 포인트 (PS)는 접지면 π 에 있으며 시점 (PV)은 바로 위에 있습니다. PP는 그림 평면 α 에 대한 투영입니다 . LO 및 LT는 수평선과 접지선입니다 ( linea d' orizzontelinea di terra ). 굵은 선 sqπ 에 있으며 TsTq에서 각각 α가로 챕니다 . PV (빨간색)를 통과하는 평행선은 소실점 FsFq 에서 LO를 차단합니다.: 따라서 하나의 돌기 그릴 수 S 'Q' 그러므로 또한 교차하고, 'R을R .

원근 투영 또는 원근 변환은 3 차원 개체가 그림 평면 에 투영되는 선형 투영 입니다. 이것은 멀리있는 물체가 가까운 물체보다 작게 나타나는 효과가 있습니다.

이는 또한 본질적으로 평행 한 (즉, 무한대 지점에서 만나는) 선이 투영 된 이미지에서 교차하는 것처럼 보인다는 것을 의미합니다. 예를 들어 철도가 원근 투영으로 묘사 된 경우 철도는 단일 지점을 향해 수렴하는 것처럼 보입니다. 소실점 . 사진 렌즈와 사람의 눈은 같은 방식으로 작동하므로 투시 투영이 가장 사실적으로 보입니다. [5] 투시 투영은 일반적으로 분류 한 점 , 2 점3 점 관점에서 도시 된 객체의 축 방향 투영면의 방향에 따라. [6]

그래픽 투영 방법은 선과 점 사이의 이중성에 의존하며, 두 개의 직선이 점을 결정하고 두 점이 직선을 결정합니다. 그림 평면에 대한 아이 포인트의 직교 투영을 주 소실점 (왼쪽 그림에서 PP , 르네상스 시대에 만들어진 이탈리아 용어 punto principale 에서 유래 )이라고합니다. [7]

라인의 두 관련 포인트는 다음과 같습니다.

  • 그림 평면과의 교차점
  • 시선으로부터의 평행선과 그림 평면 사이의 교차점에서 발견되는 소실점.

주요 소실점은 그림 평면에 수직 인 모든 수평선의 소실점입니다. 모든 수평선의 소실점은 수평선에 있습니다. 종종 그렇듯이 그림 평면이 수직이고 모든 수직선이 수직으로 그려지고 그림 평면에 유한 소실점이 없습니다. 기하학적 장면을 투영하기 위해 다양한 그래픽 방법을 쉽게 구상 할 수 있습니다. 예를 들어 45 °의 아이 포인트에서 그림 평면까지 추적 된 선은 반지름이 평면에서 아이 포인트의 거리 인 원을 따라 후자와 교차하므로 해당 원을 추적하면 45 °의 모든 소실점을 구성하는 데 도움이됩니다. 윤곽; 특히, 그 원과 수평선의 교차점은 두 개의 거리 점으로 구성됩니다.. 체스 판 바닥을 그리는 데 유용하며, 이는 장면에서 오브젝트의베이스를 찾는 데 사용됩니다. 오른쪽에있는 기하학적 솔리드의 관점에서 수평선을 결정하는 주 소실점을 선택한 후 도면 왼쪽에있는 45 ° 소실점은 (동일하게 먼) 시점의 특성화를 완료합니다. 각 정점의 직교 투영에서 그림 평면에 대한 45 °와 90 °에 하나씩 두 개의 선이 그려집니다. 접지선을 교차 한 후이 선은 거리 지점 (45 °) 또는 주요 지점 (90 °)으로 이동합니다. 그들의 새로운 교차점은지도의 투영을 찾습니다. 자연 높이는지면 선 위에서 측정 한 다음지도에서 수직선에 도달 할 때까지 같은 방식으로 투영됩니다.

직교 투영은 정확한 측정을 위해 원근을 무시하지만 원근 투영은 먼 물체를 더 작게 표시하여 추가적인 사실감을 제공합니다.

수학 공식

원근 투영은 직교 투영에 비해 더 복잡한 정의가 필요합니다. 이 투영의 메커니즘을 이해하는 개념적 도움은 마치 카메라 뷰 파인더를 통해 물체를 보는 것처럼 2D 투영을 상상하는 것입니다. 카메라의 위치, 방향 및 시야 는 투영 변환의 동작을 제어합니다. 이 변환을 설명하기 위해 다음 변수가 정의됩니다.

  • 투영 될 지점 A 의 3D 위치 .
  • 카메라를 나타내는 지점 C 의 3D 위치 .
  • – The orientation of the camera (represented by Tait–Bryan angles).
  • - the display surface's position relative to the camera pinhole C.[8]

Most conventions use positive z values (the plane being in front of the pinhole), however negative z values are physically more correct, but the image will be inverted both horizontally and vertically. Which results in:

  • - the 2D projection of

When and the 3D vector is projected to the 2D vector .

Otherwise, to compute we first define a vector as the position of point A with respect to a coordinate system defined by the camera, with origin in C and rotated by with respect to the initial coordinate system. This is achieved by subtracting from and then applying a rotation by to the result. This transformation is often called a camera transform, and can be expressed as follows, expressing the rotation in terms of rotations about the x, y, and z axes (these calculations assume that the axes are ordered as a left-handed system of axes): [9] [10]

This representation corresponds to rotating by three Euler angles (more properly, Tait–Bryan angles), using the xyz convention, which can be interpreted either as "rotate about the extrinsic axes (axes of the scene) in the order z, y, x (reading right-to-left)" or "rotate about the intrinsic axes (axes of the camera) in the order x, y, z (reading left-to-right)". Note that if the camera is not rotated (), then the matrices drop out (as identities), and this reduces to simply a shift:

Alternatively, without using matrices (let us replace with and so on, and abbreviate to and to ):

This transformed point can then be projected onto the 2D plane using the formula (here, x/y is used as the projection plane; literature also may use x/z):[11]

Or, in matrix form using homogeneous coordinates, the system

in conjunction with an argument using similar triangles, leads to division by the homogeneous coordinate, giving

The distance of the viewer from the display surface, , directly relates to the field of view, where is the viewed angle. (Note: This assumes that you map the points (-1,-1) and (1,1) to the corners of your viewing surface)

The above equations can also be rewritten as:

In which is the display size, 기록면 크기 ( CCD 또는 필름 ),기록면에서 입사 동공 까지의 거리 ( 카메라 중심 ) 투영되는 3D 점에서 입사 동공까지의 거리입니다.

2D 평면을 특정 디스플레이 미디어에 매핑하려면 후속 클리핑 및 크기 조정 작업이 필요할 수 있습니다.

약한 투시 투영

"약한"원근 투영은 직교 투영과 동일한 원리를 사용하지만 배율을 지정해야하므로 가까운 오브젝트가 투영에서 더 크게 나타나고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 직교 투영과 투시 투영의 하이브리드로 볼 수 있으며 개별 포인트 깊이가있는 투시 투영으로 설명됩니다. replaced by an average constant depth ,[12] or simply as an orthographic projection plus a scaling.[13]

The weak-perspective model thus approximates perspective projection while using a simpler model, similar to the pure (unscaled) orthographic perspective. It is a reasonable approximation when the depth of the object along the line of sight is small compared to the distance from the camera, and the field of view is small. With these conditions, it can be assumed that all points on a 3D object are at the same distance from the camera without significant errors in the projection (compared to the full perspective model).

Equation

assuming focal length .

Diagram

Perspective transform diagram.svg

To determine which screen x-coordinate corresponds to a point at multiply the point coordinates by:

where

is the screen x coordinate
is the model x coordinate
is the focal length—the axial distance from the camera center to the image plane
is the subject distance.

Because the camera is in 3D, the same works for the screen y-coordinate, substituting y for x in the above diagram and equation.

You can use that to do clipping techniques, replacing the variables with values of the point that's are out of the FOV-angle and the point inside Camera Matrix.

This technique, also known as "Inverse Camera", is a Perspective Projection Calculu with known values to calculate the last point on visible angle, projecting from the invisible point, after all needed transformations finished.

See also

References

  1. Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). 디지털 디자인 미디어 . 존 와일리와 아들. 피. 169. ISBN 978-0-471-28666-0.
  2. Maynard, Patric (2005). 그리기 구별 : 다양한 그래픽 표현 . 코넬 대학 출판부. 피. 22. ISBN 978-0-8014-7280-0.
  3. McReynolds, Tom; 데이비드 브라이스 (2005). openGL을 사용한 고급 그래픽 프로그래밍 . 엘스 비어. 피. 502. ISBN 978-1-55860-659-3.
  4. ^ "축측 투영-기술적 인 개관" . 2015 년 424 일에 확인 .
  5. D. Hearn, & M. Baker (1997 년). 컴퓨터 그래픽, C 버전 . Englewood Cliffs : Prentice Hall], 9 장
  6. ^ James Foley (1997). Computer Graphics. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-84840-6], chapter 6
  7. ^ Kirsti Andersen (2007), The geometry of an art, Springer, ISBN 9780387259611
  8. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (1978). "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations" (PDF). ACM Computing Surveys. 10 (4): 465–502. CiteSeerX 10.1.1.532.4774. doi:10.1145/356744.356750. S2CID 708008.
  9. Riley, KF (2006 년). 물리학 및 공학을위한 수학적 방법 . 캠브리지 대학 출판부 . 931, 942 쪽. doi : 10.2277 / 0521679710 . ISBN 978-0-521-67971-8.
  10. Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). 매사추세츠 주 읽기 : Addison-Wesley Pub. Co. 146–148 쪽. ISBN 978-0-201-02918-5.
  11. Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R (1995). 이미지 처리, 분석 및 머신 비전 (2nd ed.). 채프먼과 홀. 피. 14. ISBN 978-0-412-45570-4.
  12. Subhashis Banerjee (2002 년 2 월 18 일). "약한 관점 카메라" .
  13. ^ Alter, T. D. (July 1992). 3D Pose from 3 Corresponding Points under Weak-Perspective Projection (PDF) (Technical report). MIT AI Lab.

Further reading

External links