1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ - 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

계층화 된 상자와 y 축 바로 아래에있는 포물선이있는 계열을 나타내는 그래프
시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 의 처음 네 부분 합계입니다 . 포물선은 평활화 된 점근선입니다. Y -intercept이다 - +1/12. [1]

항이 자연수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 인 무한 급수 발산 급수 입니다. 시리즈 n 번째 부분합은 삼각수입니다.

n무한대 로 갈수록 제한없이 증가 합니다 . 부분합 시퀀스유한 한계수렴 하지 못하기 때문에 계열 에는 합이 없습니다.

이 시리즈는 처음에는 의미있는 가치가 전혀없는 것처럼 보이지만 수학적으로 흥미로운 결과를 얻기 위해 조작 할 수 있습니다. 예를 들어 수학에서 많은 합산 방법 을 사용하여 발산 계열에도 숫자 값을 할당합니다. 특히, zeta 함수 정규화Ramanujan 합산 방법은 계열에 + 값을 할당합니다.1/12, 유명한 공식으로 표현되는 [2]

여기서 왼쪽 은 일반적인 의미에서 무한 급수 의 합이 아니라 앞서 언급 한 합산 방법 중 하나를 사용하여 얻은 값으로 해석되어야 합니다. 이러한 방법은 복잡한 분석 , 양자 장 이론끈 이론같은 다른 분야에 적용됩니다 . [삼]

달빛 이론 에 대한 논문에서 Terry Gannon은이 방정식을 "과학에서 가장 주목할만한 공식 중 하나"라고 부릅니다. [4]

부분 합계

처음 6 개의 삼각형 숫자

시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯의 부분합1, 3, 6, 10, 15 등입니다. n 번째 부분합은 간단한 공식으로 제공됩니다.

이 방정식은 일찍이 기원전 6 세기에 피타고라스 사람들 에게 알려졌습니다 . [5] 이 형태의 숫자 는 정삼각형으로 배열 될 수 있기 때문에 삼각수 라고 합니다.

삼각형 숫자의 무한 시퀀스는 + ∞로 분기되므로 정의에 따라 무한 시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 도 + ∞로 분기됩니다. 발산은 계열 형태의 단순한 결과입니다. 항이 0에 가까워지지 않으므로 계열은 test 항에 의해 발산됩니다 .

가연성

고전적인 발산 시리즈 중에서 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 은 유한 값으로 조작하기가 상대적으로 어렵습니다. 많은 합산 방법 을 사용하여 발산 계열에 숫자 값을 할당하며 일부는 다른 계열보다 더 강력합니다. 예를 들어, Cesàro 합산Grandi의 시리즈 , 약간 발산하는 시리즈 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯을 다음 과 같이 더하는 잘 알려진 방법입니다.1/2. Abel summation 은 Grandi의 시리즈를 다음과 같이 합산 할뿐만 아니라1/2, 또한 더 까다로운 시리즈 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯1/4.

위의 시리즈와 달리 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 는 세사로 합산 또는 아벨 합산이 아닙니다. 이러한 방법은 진동 발산 시리즈에서 작동하지만 + ∞로 발산하는 시리즈에 대한 유한 답을 생성 할 수 없습니다. [6] 발산 계열의 합에 대한 대부분의 기본 정의는 안정적이고 선형 적이며, 안정적이고 선형적인 방법은 1 + 2 + 3 + ⋯ 을 유한 값으로 합할 수 없습니다 . 아래를 참조하십시오. zeta 함수 정규화 또는 Ramanujan 합계 와 같은 고급 방법이 필요합니다 . + 의 값을 주장하는 것도 가능합니다.1/12 이러한 방법과 관련된 대략적인 휴리스틱을 사용합니다.

휴리스틱

통로에서 Ramanujan에 일련의 "일정한"을 나타내는 최초의 노트북

Srinivasa Ramanujan 은 " 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = +1/12"그의 첫 번째 노트북의 8 장에서. [7] [8] [9] 더 간단하고 덜 엄격한 파생은 다음과 같이 두 단계로 진행됩니다.

첫 번째 중요한 통찰은 일련의 양수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯교대 시리즈 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 과 매우 유사 하다는 것 입니다. 후자의 시리즈도 다양하지만 작업하기가 훨씬 쉽습니다. 가치를 부여하는 몇 가지 고전적인 방법이 있으며 이는 18 세기부터 탐구되어 왔습니다. [10]

시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 로 변환하려면 두 번째 항에서 4, 네 번째 항에서 8, 여섯 번째 항에서 12 등을 뺄 수 있습니다. . 빼야 할 총량은 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯ 이며 이는 원래 시리즈의 4 배입니다. 이러한 관계는 대수를 사용하여 표현할 수 있습니다. 시리즈의 "합계"가 무엇이든간에 c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 라고 부릅니다 . 그런 다음이 방정식에 4를 곱하고 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺍니다.

두 번째 중요한 통찰은 교대 급수 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯함수 의 공식적인 거듭 제곱 확장이라는 것입니다.1/(1 + x ) 2그러나 x 를 1로 정의하면 Ramanujan은 다음과 같이 씁니다.

양변을 −3으로 나누면 c = +1/12.

일반적으로 무한 급수를 유한 합인 것처럼 조작하는 것은 올바르지 않습니다. 예를 들어, 발산 계열의 임의 위치에 0이 삽입되면 다른 방법과 일치하는 것은 말할 것도없고 자체 일관성이없는 결과에 도달 할 수 있습니다. 특히, 4 c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ 단계덧셈 항등 법만으로 정당화되지 않습니다 . 극단적 인 예를 들어, 시리즈 앞에 단일 0을 추가하면 일관성없는 결과가 발생할 수 있습니다. [1]

이 상황을 해결하고 0이 삽입 될 수있는 위치를 제한하는 한 가지 방법은 일부 기능에 대한 종속성을 첨부하여 계열의 각 용어를 추적하는 것입니다. [11] 시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 각 용어 N은 단지 숫자이다. 용어 n 이 함수 n −s로 승격되는 경우 s 는 복합 변수 인 경우 유사한 용어 만 추가되도록 할 수 있습니다. 결과 시리즈는보다 엄격한 방식으로 조작 할 수 있으며 변수 s 는 나중에 -1로 설정할 수 있습니다. 이 전략의 구현을 제타 함수 정규화 라고 합니다 .

제타 함수 정규화

ζ ( s ) 플롯 . S > 1 , 직렬 수렴 및 ζ ( S )> 1 . s = 1 에서 극 주변의 분석적 연속은 ζ (−1) = +를 포함하는 음수 값 영역으로 이어집니다.1/12

에서는 제타 함수 조절 시리즈 시리즈로 대체 . 후자의 시리즈는 Dirichlet 시리즈 의 예입니다 . s 의 실수 부분 이 1보다 크면 Dirichlet 급수가 수렴되고 그 합은 Riemann zeta 함수 ζ ( s )입니다. 반면에 Dirichlet 시리즈는 s 의 실수 부분이 1보다 작거나 같을 때 발산 하므로 특히 s = –1로 설정 한 결과 인 시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯수렴하지 않습니다. . Riemann zeta 함수 도입의 이점은 분석적 연속에 의해 s의 다른 값에 대해 정의 될 수 있다는 입니다. 그런 다음 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 의 제타 정규화 합을 정의 할 수 있습니다.되어야 ζ (-1).

이 시점에서 ζ (−1) = + 임을 증명하는 몇 가지 방법이 있습니다.1/12. 오일러의 추론을 따르는 한 가지 방법은 [12] Riemann zeta 함수와 Dirichlet eta 함수 η ( s ) 사이의 관계를 사용합니다 . eta 함수는 교대 Dirichlet 시리즈에 의해 정의되므로이 방법은 이전의 휴리스틱과 유사합니다. 두 Dirichlet 시리즈가 수렴하는 경우 하나는 다음과 같은 정체성을 갖습니다.

정체성 continues to hold when both functions are extended by analytic continuation to include values of s for which the above series diverge. Substituting s = −1, one gets −3ζ(−1) = η(−1). Now, computing η(−1) is an easier task, as the eta function is equal to the Abel sum of its defining series,[13] which is a one-sided limit:

Dividing both sides by −3, one gets ζ(−1) = +1/12.

Cutoff regularization

계층화 된 상자가있는 시리즈를 나타내는 그래프
The series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
계층화 된 곡선 줄무늬가있는 매끄러운 계열을 나타내는 그래프
After smoothing
y 축 바로 아래로 떨어지는 포물선을 보여주는 그래프
Asymptotic behavior of the smoothing. The y-intercept of the parabola is +1/12.[1]

The method of regularization using a cutoff function can "smooth" the series to arrive at +1/12. Smoothing is a conceptual bridge between zeta function regularization, with its reliance on complex analysis, and Ramanujan summation, with its shortcut to the Euler–Maclaurin formula. Instead, the method operates directly on conservative transformations of the series, using methods from real analysis.

The idea is to replace the ill-behaved discrete series with a smoothed version

,

where f is a cutoff function with appropriate properties. The cutoff function must be normalized to f(0) = 1; this is a different normalization from the one used in differential equations. The cutoff function should have enough bounded derivatives to smooth out the wrinkles in the series, and it should decay to 0 faster than the series grows. For convenience, one may require that f is smooth, bounded, and compactly supported. One can then prove that this smoothed sum is asymptotic to +1/12+ CN 2 , 여기서 Cf에 의존하는 상수입니다 . 점근 적 확장의 상수 항은 f에 의존하지 않습니다 . 반드시 분석적 연속에 의해 주어진 것과 동일한 값입니다. +1/12. [1]

라마누잔 요약

Ramanujan에 합계1 + 2 + 3 + 4 + ⋯은 또한 - +1/12. Ramanujan은 1913 년 2 월 27 일자 GH Hardy 에게 보낸 두 번째 편지에서 다음과 같이 썼습니다 .

"친애하는 각하, 1913 년 2 월 8 일의 편지를 숙독 해 주셔서 대단히 감사합니다. 런던의 수학 교수가 BromwichInfinite Series를 주의 깊게 공부 하고 넘어지지 않도록 요청한 것과 비슷한 답장을 기대하고있었습니다. … 나는 그에게 시리즈의 무한한 수의 항의 합이 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = + 라고 말했습니다.1/12내 이론에 따라. 내가이 말을하면 즉시 정신 병원을 목표로 삼을 것입니다. 나는 내가 한 글자로 진행하는 줄을 표시하면 내 증명 방법을 따를 수 없다는 것을 당신에게 확신시키기 위해 이것에 대해 확장합니다. … " [14]

Ramanujan summation is a method to isolate the constant term in the Euler–Maclaurin formula for the partial sums of a series. For a function f, the classical Ramanujan sum of the series is defined as

where f(2k−1) is the (2k − 1)-th derivative of f and B2k is the 2kth Bernoulli number: B2 = 1/6, B4 = +1/30, 등등. 설정 f ( x ) = x , f 의 1 차 도함수 는 1이고 다른 모든 항은 사라집니다. [15]

피할 불일치에, Ramanujan에 합의 현대 이론은 필요 f는 의 고차 유도체한다는 의미에서 "일반"입니다 f를 0에 Ramanujan가 암묵적으로이 가정에 오일러 - Maclaurin은 식의 나머지 기간에 대한 충분히 빠르게 붕괴는 경향이 특성. [15] 정규성 요구 사항은 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯ 과 같은 간격이있는 계열에 대한 Ramanujan 합계의 사용을 방지 합니다. 정규 함수는 이러한 값을 취하지 않기 때문입니다. 대신 이러한 시리즈는 제타 함수 정규화로 해석되어야합니다. 이러한 이유로 Hardy는 알려진 계열의 Ramanujan 합계를 적용하여 관련 계열의 합계를 찾을 때 "매우주의"할 것을 권장합니다. [16]

안정적인 선형 합산 방법의 실패

A summation method that is linear and stable cannot sum the series 1 + 2 + 3 + ⋯ to any finite value. (Stable means that adding a term to the beginning of the series increases the sum by the same amount.) This can be seen as follows. If

1 + 2 + 3 + ⋯ = x

then adding 0 to both sides gives

0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x by stability.

By linearity, one may subtract the second equation from the first (subtracting each component of the second line from the first line in columns) to give

1 + 1 + 1 + ⋯ = xx = 0.

Adding 0 to both sides again gives

0 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = 0,

and subtracting the last two series gives

1 + 0 + 0 + ⋯ = 0

contradicting stability.

따라서 1 + 2 + 3 + ⋯ 의 합에 유한 값을 제공하는 모든 방법 은 안정적이지 않거나 선형이 아닙니다. [17]

물리학

에서 보손 끈 이론 , 시도는, 특히 가장 낮은 에너지 레벨을 문자열의 가능한 에너지 레벨을 계산하는 것이다. 비공식적으로 말하면, 스트링의 각 고조파는 D − 2 개의 독립적 인 양자 고조파 발진기 의 모음으로 볼 수 있으며 , 각 가로 방향에 대해 하나씩 , 여기서 D 는 시공간의 차원입니다. 기본 발진 주파수가 ω 이면 n 번째 고조파에 기여하는 발진기의 에너지는 다음과 같습니다.nħω/2. 따라서 발산 시리즈를 사용하면 모든 고조파의 합은 +ħω ( D − 2)/24. 궁극적으로 이것은 Goddard-Thorn 정리 와 결합 된이 사실이며 , 이는 26 차원 이외의 차원에서 일관성이없는 보소닉 끈 이론으로 이어집니다. [18]

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 의 정규화 는 또한 한 차원에서 스칼라 필드대한 Casimir 힘계산하는 데 관여 합니다. [19] 지수 적 차단 기능 접미사 임의로 높은 에너지 모드 도전 판에 의해 차단되지 않는다는 사실을 나타내는 일련 원활. 문제의 공간 대칭은 확장의 2 차 항을 취소하는 역할을합니다. 남은 것은 상수항입니다 +1/12,이 결과의 음의 부호는 카시미르 힘이 매력적이라는 사실을 반영합니다. [20]

Riemann zeta 함수 대신 Epstein zeta 함수사용하여 3 차원에서 유사한 계산이 수행됩니다. [21]

역사

Leonhard Euler가 시리즈를 +로 합산했는지 여부는 불분명합니다.1/12. According to Morris Kline, Euler's early work on divergent series relied on function expansions, from which he concluded 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ∞.[22] According to Raymond Ayoub, the fact that the divergent zeta series is not Abel summable prevented Euler from using the zeta function as freely as the eta function, and he "could not have attached a meaning" to the series.[23] Other authors have credited Euler with the sum, suggesting that Euler would have extended the relationship between the zeta and eta functions to negative integers.[24][25][26] In the primary literature, the series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ is mentioned in Euler's 1760 publication De seriebus divergentibus 와 분기 기하학적 시리즈 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ . 오일러는이 유형의 계열이 유한 한 음의 합을 가지고 있음을 암시하고 이것이 기하학적 계열에 대해 무엇을 의미하는지 설명하지만 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 논의하기 위해 돌아 오지 않습니다 . 같은 출판물에서 Euler는 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯의 합 이 무한 하다고 씁니다 . [27]

대중 매체에서

David Leavitt's 2007 novel The Indian Clerk includes a scene where Hardy and Littlewood discuss the meaning of this series. They conclude that Ramanujan has rediscovered ζ(−1), and they take the "lunatic asylum" line in his second letter as a sign that Ramanujan is toying with them.[28]

Simon McBurney's 2007 play A Disappearing Number focuses on the series in the opening scene. The main character, Ruth, walks into a lecture hall and introduces the idea of a divergent series before proclaiming, "I'm going to show you something really thrilling," namely 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = +1/12. As Ruth launches into a derivation of the functional equation of the zeta function, another actor addresses the audience, admitting that they are actors: "But the mathematics is real. It's terrifying, but it's real."[29][30]

2014 년 1 월 Numberphile 은 시리즈에 대한 YouTube 동영상을 제작하여 첫 달에 150 만 회 이상의 조회수를 기록했습니다. [31] 8 분 분량의 비디오는 노팅엄 대학의 물리학자인 토니 파딜라가 설명합니다 . Padilla는 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯1 − 2 + 3 − 4 + ⋯로 시작 하고 Ramanujan의 주장과 유사한 기간별 빼기를 사용하여 후자를 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯에 연결 합니다. [32] Numberphile은 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 방법을 자세히 설명하는 노팅엄 물리학 자 Ed Copeland가 출연하는 21 분 분량의 동영상 버전도 공개했습니다.1/4아벨 합계 및 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = +1/12 as ζ(−1).[33] After receiving complaints about the lack of rigour in the first video, Padilla also wrote an explanation on his webpage relating the manipulations in the video to identities between the analytic continuations of the relevant Dirichlet series.[34]

In The New York Times coverage of the Numberphile video, mathematician Edward Frenkel commented, "This calculation is one of the best-kept secrets in math. No one on the outside knows about it."[31]

Coverage of this topic in Smithsonian magazine describes the Numberphile video as misleading, and notes that the interpretation of the sum as +1/12 relies on a specialized meaning for the equals sign, from the techniques of analytic continuation, in which equals means is associated with.[35]

References

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Bibliography

Further reading

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External links